作业帮已知一个无穷递缩等比数列所有项和为1,各项的平方和为3分之1.求这个数列的首相和公比.并写出这个数列的通项公式
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 19:03:14
已知一个无穷递缩等比数列所有项和为1,各项的平方和为3分之1.求这个数列的首相和公比.并写出这个数列的通项公式
已知一个无穷递缩等比数列所有项和为1,各项的平方和为3分之1.求这个数列的首相和公比.并写出这个数列的通项公式
已知一个无穷递缩等比数列所有项和为1,各项的平方和为3分之1.求这个数列的首相和公比.并写出这个数列的通项公式
根据无穷递缩等比数列求和公式S=a1/(1-q) 其中丨q丨＜1,对于本题有
a1/(1-q)=1,或a1=1-q；①
又,数列各项的平方依次是a1²、a1²q²、a1²q^4……a1²q^(2n-2)……,
其首项是a1²,公比是q²,各项的和是a1²/(1-q²)=1/3,或3a1²=1-q²,②
将①代入②得3(1-q)²=1-q²,解此方程得q=1/2 (舍去另一根：1）.由②得a1=1/2.
所求数列的通项公式是an=(1/2)*(1/2)^(n-1)=1/(2^n).
设首项是a1，公比是q，则前n项和是Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)，
无穷递缩等比数列所有项和S=lim(n→+∞) Sn=a1/(1-q)=1；
各项的平方和为Tn=a1^2+(qa1)^2+......+[q^(n-1)*a1]^2，新数列的首项是a1^2，公比q^2
Tn=a1^2(1-q^2n)/(1-q^2)，所有项和T=lim(n→+∞) Tn=a1...
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设首项是a1，公比是q，则前n项和是Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)，
无穷递缩等比数列所有项和S=lim(n→+∞) Sn=a1/(1-q)=1；
各项的平方和为Tn=a1^2+(qa1)^2+......+[q^(n-1)*a1]^2，新数列的首项是a1^2，公比q^2
Tn=a1^2(1-q^2n)/(1-q^2)，所有项和T=lim(n→+∞) Tn=a1^2/(1-q^2)=1/3
则(1-q^2)=3a1^2=3(1-q)^2，解得q=1或q=1/2；由于无穷递缩等比数列公比应满足|q|<1，
则q=1/2，a1=1-q=1/2
通项公式是an=a1*q^(n-1)=2^(-n)
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已知一个无穷递缩等比数列所有项和为1，各项的平方和为3分之1.求这个数列设求这个数列的首相和公比分别为 a1,q 所有项和为1 ： a1/(1-q)=1