数列an满足an+1=根号(an^2+1)+an,a1=a>0,求an通项公式

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/28 06:24:34
数列an满足an+1=根号(an^2+1)+an,a1=a>0,求an通项公式

数列an满足an+1=根号(an^2+1)+an,a1=a>0,求an通项公式
数列an满足an+1=根号(an^2+1)+an,a1=a>0,求an通项公式

数列an满足an+1=根号(an^2+1)+an,a1=a>0,求an通项公式
a(n+1)=√(an²+1)+an
a(n+1)-an=√(an²+1)
(a(n+1)-an)²=an²+1
a(n+1)²-2ana(n+1)-1=0①
a(n-1)²-2ana(n-1)-1=0②
由①②得a(n+1)、a(n-1)为方程x²-2anx-1=0的根.
根据韦达定理有a(n+1)+a(n-1)=2an,显然,an等差.(也可用①-②得出)
a1=a,a2=√(a²+1)+a,故d=a2-a1=√(a²+1).
从而an=a1+(n-1)d=√(a²+1)n+a-√(a²+1).
综上,数列an的通项公式为an=√(a²+1)n+a-√(a²+1).

由已知an+1=根号(an^2+1)+an,a1=a>0,所以两边同时平方得an+1的平方=an的平方+1,即an+1的平方-an的平方=1,所以{an的平方}为等差数列,公差为1,首项为a1的平方=a的平方,根据等差数列的通项公式有an的平方=a的平方+(n-1)*1,所以an=根号下(a的平方+n-1)