作业帮如图①,抛物线y=ax2+bx+c过原点,且当x=- 3 2 时有最小值如图①,抛物线y=ax2+bx+c过原点,且当x=-3 2 时有最小值,并经过点A（-4,2）,同时AB平行于x轴交抛物线于点B；（1）求该抛物线的解析式和点B的坐
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 19:42:33
如图①,抛物线y=ax2+bx+c过原点,且当x=- 3 2 时有最小值如图①,抛物线y=ax2+bx+c过原点,且当x=-3 2 时有最小值,并经过点A（-4,2）,同时AB平行于x轴交抛物线于点B；（1）求该抛物线的解析式和点B的坐
如图①,抛物线y=ax2+bx+c过原点,且当x=- 3 2 时有最小值
如图①,抛物线y=ax2+bx+c过原点,且当x=-
3
2 时有最小值,并经过点A（-4,2）,同时AB平行于x轴交抛物线于点B；
（1）求该抛物线的解析式和点B的坐标；
（2）过点A作AC⊥x轴于C,在x轴上是否存在点D,使△AOC与△BOD相似?
（3）如图②,将△AOB绕着点O按逆时针方向旋转后到达△A′OB′的位置,当线段A′B′的中点E正好落在直线OA上时,求直线A′B′与直线AB的交点P的坐标．
如图①,抛物线y=ax2+bx+c过原点,且当x=- 3 2 时有最小值如图①,抛物线y=ax2+bx+c过原点,且当x=-3 2 时有最小值,并经过点A（-4,2）,同时AB平行于x轴交抛物线于点B；（1）求该抛物线的解析式和点B的坐
（1）∵AB∥x轴,且抛物线同时经过A、B两点,
∴A、B关于抛物线的对称轴对称；
由于A（-4,2）,故B（1,2）；
将A、B的坐标代入抛物线的解析式中,得：
2=16a-4b
2=a+b
,解得
a=
1
2
b=
3
2
；
故抛物线解析式为y=
1
2
x2+
3
2
x；（1分）
点B坐标为（1,2）；（1分）
（2）∵A（-4,2）,B（1,2）,O（0,0）,
∴AB=5,OA=2
5
,OB=
5
；
∴OB2+OA2=5+20=25=AB2,
故△AOB是直角三角形,且∠AOB=90°,
∴∠AOC+∠BOD=90°,
∵∠AOC+∠CAO=90°,∴∠CAO=∠BOD；
若∠BDO=90°,则△ACO∽△ODB,此时D（1,0）；（2分）
若∠OBD=90°,则△ACO∽△OBD,
∴
2
5
OD
=
2
5
,得OD=5,
∴D（5,0）；（2分）
（3）当线段A′B′的中点落在第二象限时,设A'B'与直线OA的交点为M,
∵∠A′OB′=90°,
∴A'M=OM,
∴∠MOA′=∠A′=∠A,
∴AB∥OA′；
∵AB∥x轴,
∴OA′与x轴重合；
此时A′（-2
5
,0）,B′(0,
5
),
则直线A′B′的函数y=
1
2
x+
5
,（2分）
点P坐标为(4-2
5
,2)．（2分）
当线段A′B′的中点落在第四象限时,同理P坐标为(4+2
5 ,2)．（2分）