作业帮大一的高数题目证明e是无理数.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 22:30:06
大一的高数题目证明e是无理数.
大一的高数题目
证明e是无理数.
大一的高数题目证明e是无理数.
我们知道
e=1+1/1!+1/2!+...+1/n!+...(*)
如果是有理数,那么它可以写作e=p/q.把(*)式两边乘q!,
p(q-1)!=q!(1+1/1!+1/2!+...+1/q!)+q!(1/(q+1)!+1/(q+2)!+...)
上式的左边是整数,右边第一部分也是整数,所以右边第二部分
R = q!(1/(q+1)!+1/(q+2)!+...)
也是应该是整数.可是
R = 1/(q+1)+1/(q+1)(q+2)+1/(q+1)(q+2)(q+3)+1/(q+1)(q+2)(q+3)(q+4)+.
..
= (1/(q+1))(1+1/(q+2)+1/(q+2)(q+3)+1/(q+2)(q+3)(q+4)+...)
< (1/(q+1))(1+1/(q+1)+1/(q+1)^2 +1/(q+1)^3 +...)
由等比数列和公式,
R < (1/(q+1))(1/(1-1/(q+1)))
= (1/(q+1))((q+1)/q)
= 1/q
另外R>0.所以R不能是整数.矛盾,证毕.
貌似数论里的题…………
我好像在课本里看过，不过忘了……