作业帮证明：完全平方数除以9的余数只能是0或1或4或7.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 02:22:04
证明：完全平方数除以9的余数只能是0或1或4或7.
证明：完全平方数除以9的余数只能是0或1或4或7.
证明：完全平方数除以9的余数只能是0或1或4或7.
证明
设x是一个完全平方数,易知,存在正整数p,使得x=p²
又全部的正整数可以分为九类：
Aⁿ={p||p=9p+n,p∈Z+,n=0,1,2,3,8}
x=p²=(9p+n)²=9(9p²+2pn)+n².
n n².余
0 0 0
1 1 1
2 4 4
3 9 0
4 16 7
5 25 7
6 36 0
7 49 4
8 64 7
∴余数只能是0,1,4,7
由于（kp+r)^2 (kp-r)^2除以p（此处＝5）余数与r^2相等，所以只需要：
用0^2 1^2 2^2 3^2 4^2, 直接验证即可。
任何正整数一个数x可表示成：x=9a+b
其中：
a=0,1,2,...,+无穷大
b=0,1,2,3,4,5,6,7,8
则：
x²=81a²+18ab+b²
x²/9=9a²+2ab+b²/9
所以任何一个平方数除以9的余数与b²除以9的余数相同。
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任何正整数一个数x可表示成：x=9a+b
其中：
a=0,1,2,...,+无穷大
b=0,1,2,3,4,5,6,7,8
则：
x²=81a²+18ab+b²
x²/9=9a²+2ab+b²/9
所以任何一个平方数除以9的余数与b²除以9的余数相同。
b b² 余数
0 0 0
1 1 1
2 4 4
3 9 0
4 16 7
5 25 7
6 36 0
7 49 4
8 64 7
b²除以9的余数={0,1,4,7}
由于(-x)²=(x)²，因此上述结论对负整数也成立。
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