作业帮求证2^n>2n+1(n>=3)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 10:56:57
求证2^n>2n+1(n>=3)
求证2^n>2n+1(n>=3)
求证2^n>2n+1(n>=3)
我们只需要证明当n>=3时,2^n-2n-1>0
假设
f(x)=2^x-2x-1,其中x>3
所以
f'(x)=2^xln2-2
当x>3时,2^xln2-2>0
所以f‘(x)在x>3时是增函数,所以
f(x)>=f(2)=2^3-2*3-1=1>0
所以f(x)>0
所以2^n>2n+1
这里是借助函数的单调性来证明的,希望能掌握这种方法O(∩_∩)O哈!
1L的做法很好。我来补充另一种做法。
2^n-2n-1=(2^n-1)-2n=1+2+4+...+2^(n-1)-2n
1+2+4+...+2^(n-1)共有n项。由于n>=3，至少有3项。仅前3项的和1+2+4=7就已经大于2*3=6。之后每一项都大于2。所以1+2+4+...+2^(n-1)>2n，即1+2+4+...+2^(n-1)-2n>0。即2^n>2n+1。证毕。
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1L的做法很好。我来补充另一种做法。
2^n-2n-1=(2^n-1)-2n=1+2+4+...+2^(n-1)-2n
1+2+4+...+2^(n-1)共有n项。由于n>=3，至少有3项。仅前3项的和1+2+4=7就已经大于2*3=6。之后每一项都大于2。所以1+2+4+...+2^(n-1)>2n，即1+2+4+...+2^(n-1)-2n>0。即2^n>2n+1。证毕。
才看到关于归纳法的追问，其实我补充的这种做法就勉强可算是归纳法，不知是不是你所希望的解法。
如果想要的是用“数学归纳法”来证明，那就更简单了。
n=3时，显然2^n=8>2n+1=7。
n>=3时，若已知2^n>2n+1，则2^(n+1)=2^n+2^n>=8+2^n>8+2n+1>2(n+1)+1。
证毕。
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