作业帮1,设a.b.c都是正数,求证：（ab+cd）（ac+bd)≥4abcd
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 23:01:59
1,设a.b.c都是正数,求证：（ab+cd）（ac+bd)≥4abcd
1,设a.b.c都是正数,求证：（ab+cd）（ac+bd)≥4abcd
1,设a.b.c都是正数,求证：（ab+cd）（ac+bd)≥4abcd
可以先分开来看
根据不等式：（ab+cd)/2 大于等于 根号下abcd
同样（ac+bd)/2 大于等于 根号下abcd
abc都为正数,则根号下abcd大于0
再把他们相乘就是 （ab+cd)(ac+bd)/4 大于等于 abcd
所以 （ab+cd)(ac+bd)大于等于 4abcd
直接利用基本不等式就可以啦
ab+cd>=2根号abcd
ac+bd>=2根号abcd
然后2者相乘就可以了！
证明：以前学过 正数a,b 有a+b≥2倍根号下a*b
即：（ab+cd）≥2倍根号下abcd
(ac+bd) ≥2倍根号下abcd
所以 （ab+cd）（ac+bd)≥4abcd
证明：（ab+cd）(ac+bd)
=a^2bc+ab^2d+ac^2d+bcd^2
=(a^2+d^2)bc+(b^2+c^2)ad
>=2abcd+2abcd=4abcd
所以，不等式成立
在回答这个问题前，你首先要知道一个定理，a,b是正数，则a+b≥2√ab,
1， 因为a,b,c,d是正数，所以ab+cd≥2√abcd;
ac+bd≥2√abcd;
所以 (ab+cd)(ac+bd)≥2(√abcd)·2(√abcd)=4abcd
即 （ab+cd）（ac+bd)≥4abcd
(ab+bd)(ac+bd)-4abcd=a平方bc+d平方bc-2abcd+d平方ab+c平方ab-2abcd=bc(a-d)平方+ad(b-c)平方，由于字母均为正，故此式大于等于0，所以命题得证。字母多时慢慢来，不要烦躁。祝你进步。
∵ab+cd≥2根号(abcd)
ac+bd≥2根号(abcd)
∴(ab+cd)(ac+bd)≥2根号(abcd)×2根号(abcd)=4abcd
用基本不等式就可以了 看图片