作业帮AD是BC边的中线,点M在AB边上,点N在AC边上,并且角MDN=90度,如果BM^2+CN^2=DM^2+DN^2,求证AD^2= 1/4*(AB^2+AC^2)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 04:12:24
AD是BC边的中线,点M在AB边上,点N在AC边上,并且角MDN=90度,如果BM^2+CN^2=DM^2+DN^2,求证AD^2= 1/4*(AB^2+AC^2)
AD是BC边的中线,点M在AB边上,点N在AC边上,并且角MDN=90度,如果BM^2+CN^2=DM^2+DN^2,求证AD^2= 1/4*(AB^2+AC^2)
AD是BC边的中线,点M在AB边上,点N在AC边上,并且角MDN=90度,如果BM^2+CN^2=DM^2+DN^2,求证AD^2= 1/4*(AB^2+AC^2)
此题主要是勾股定理及其逆定理和全等三角形的有关知识的应用.要作比较复杂的辅助线,只要作好辅助线,也不难证明.
延长ND到E使得DE=DN,
根据D是BC的中点,DE=DN,可证△BED全等于△CND（SAS）
得∠DBE=∠C,BE=CN.
因为∠MDN=90°
所以∠MDE=90°
所以DM^2+DN^2=DM^2+DE^2=ME^2
因为BM^2+CN^2=DM^2+DN^2
所以BM^2+BE^2=BM^2+CN^2=DM^2+DN^2=DM^2+DE^2=ME^2
即BM^2+BE^2=ME^2
所以∠MBE=90°
所以∠MBD+∠DBE=90°
所以∠MBD+∠C=90°
因为∠BAC+∠MBD+∠C=90°
所以∠BAC=90°
所以 AB^2+AC^2=BC^2,BC=2AD(在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半）
所以AB^2+AC^2=（2AD）^2=4AD^2
即AD^2=1/4(AB^2+AC^2)
证明:延长AD到E,使AD=DE,连结BE,延长ND交BE于点F,连结MF,MN.
(证明思路:由勾股定理得:DM^2+DN^2=MN^2,证到MN=MF,由BM^2+CN^2=DM^2+DN^2得到BM^2+CN^2=MF^2,容易证到CN=BF,利用勾股定理的逆定理从而得出