已知数列{an}中,an>0,s=a1+a2+.+an,且an=6sn/(an+3),求sn

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 01:03:50

已知数列{an}中,an>0,s=a1+a2+.+an,且an=6sn/(an+3),求sn
已知数列{an}中,an>0,s=a1+a2+.+an,且an=6sn/(an+3),求sn

已知数列{an}中,an>0,s=a1+a2+.+an,且an=6sn/(an+3),求sn
这道题不是很难,主要用到一步转换,即an=Sn-S(n-1),
an=6Sn/(an+3),即(an)^2+3an=6Sn,递推一项得[a(n-1)]^2+3a(n-1)=6S(n-1)
所以两式相减,整理得明显而关键的一个式子：
[an-a(n-1)][an+a(n-1)]=3[an+a(n-1)],因为an>0,所以得到an-a(n-1)=3
那就是你很熟悉的等差数列了.首项由题目给出的递推式得a1=3（a1=S1）
所以an=3+3(n-1)=3n,所以Sn=[3n(n-1)]/2.
有时遇到类似的题目,就应该马上想到an=Sn-S(n-1),通常用Sn代换an,有时也用an来代换Sn,依情况而定,尝试将递推式转化成等差或等比数列,求解就容易多了.

全部展开

因为：an=6Sn/(an+3)
所以：Sn=（an^2+3an）/6
则：Sn-1=(an-1^2+3an-1)/6
因为：an=Sn-Sn-1
所以：an=（an^2+3an）/6-(an-1^2+3an-1)/6
6an=an^2+3an-an-1^2-3an-1
an^2-3an-an-1^2-3an-1=0
(an+an-1)(an-an-1)-3(an+an-1)=0
(an+an-1)(an-an-1-3)=0
解得：an=-an-1或an-an-1=3
因为：an>0
所以：an-an-1=3
即：数列{an}为公差为3的等差数列
an=a1+(n-1)d
sn=na1+n(n-1)d/2
an=6sn/(an+3)
所以：a1+(n-1)d=6[na1+n(n-1)d/2]/[a1+(n-1)d+3]
整理得：a1^2-3a1=0
解得：a1=0(舍)或a1=3
所以：sn=na1+n(n-1)d/2=3n+3n(n-1)/2=3n(n+1)/2

收起

Sn=[3n(n-1)]/2

已知数列{an}中,an>0,s=a1+a2+.+an,且an=6sn/(an+3),求sn 已知数列{an}中,a1=1/2,an+1+3an=0,an=( ) 已知数列an中,an>0,且3(an+1)^2=an(an-2an+1),a1=1,求证{an} 成等比,求通项公式已知数列{an}中a1=1,an+1=3an/an +3,求通项公式已知数列{an}中,a1=1,an+1=100an²,求通项an 已知数列an中,a1=1,an+1=an+n,求an 已知数列{an}中满足(An+1-An)(An+1+An)=16,且a1=1,an 已知数列{an}中a1=1,且满足an+an-1不等于0,Sn=1/6*(an+1)(an+2).(1)求通项an,并说明{an}是什么数列(2)求数列{an}的前n项和Sn 已知数列{an}中、a1=1,an+1=2(a1+a2+...+an)求an的通项公式已知数列｛an}中a1=2,an+1-an=3n,求数列｛an}的通项公式. 已知数列｛an}中a1=1,an+1-an=3n,求数列｛an}的通项公式. 关于数列 ..已知数列{An}中A1=1且An+1=2An+1求 An 已知数列{An}中,a1=4,an+1+an=6n+3,求证数列an-3n是等比数列,求证数列an的通项an 在数列an中,a1=0,an+1=2an+2,求an 在数列an中,已知a1=-1,(an+1)*an=(an+1)-an(n均为下标),则数列an的通项an= 已知数列{an}中,a1=1,an+1=3an/(an+3)(N∈N*),求通项an, 已知数列an中,a1=2,an+1=an/1+3an,求通项公式an 已知数列{an}中,a1=1,an+1=an+2n-1,求通项公式