高中数学必修1的第一章的练习题

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第一章 集合与函数概念
一、选择题
1．设全集U＝{(x,y)| x∈R,y∈R},集合M＝ ,
P＝{(x,y)| y≠x＋1},那么CU(M∪P)等于( )．
A． \x09\x09\x09\x09\x09\x09\x09\x09\x09B．{(2,3)}
C．(2,3)\x09\x09\x09\x09\x09\x09\x09\x09D．{(x,y)| y＝x＋1}
2．若A＝{a,b},B A,则集合B中元素的个数是( )．
A．0\x09\x09\x09\x09B．1\x09\x09\x09\x09C．2\x09\x09\x09\x09D．0或1或2
3．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的公共点数目是( )．
A．1\x09\x09\x09\x09B．0\x09\x09\x09\x09C．0或1\x09\x09\x09D．1或2
4．设函数f(x)＝2x＋3,g(x＋2)＝f(x),则g(x)的表达式是( )．
A．2x＋1\x09\x09\x09B．2x－1\x09\x09\x09C．2x－3 \x09\x09\x09D．2x＋7
5. 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示,则( )．
A．b∈(－∞,0)\x09\x09B．b∈(0,1)
C．b∈(1,2)\x09\x09D．b∈(2,＋∞)
6．设函数f(x)＝ , 若f(－4)＝f(0),f(－2)＝－2,则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为( )．
A．1\x09\x09\x09\x09B．2\x09\x09\x09\x09C．3\x09\x09\x09\x09D．4
7．设集合A＝{x | 0≤x≤6},B＝{y | 0≤y≤2},下列从A到B的对应法则f不是映射的是( )．
A．f:x→y＝ x\x09\x09B．f:x→y＝ x\x09\x09C．f:x→y＝ x\x09\x09D．f:x→y＝ x
8．有下面四个命题：
①偶函数的图象一定与y轴相交；
②奇函数的图象一定通过原点；
③偶函数的图象关于y轴对称；
④既是奇函数,又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)．
其中正确命题的个数是( )．
A．1\x09\x09\x09\x09B．2\x09\x09\x09\x09C．3\x09\x09\x09\x09D．4
9．函数y＝x2－6x＋10在区间(2,4)上是( )．
A．递减函数\x09\x09\x09\x09\x09\x09\x09\x09B．递增函数
C．先递减再递增\x09\x09\x09\x09\x09\x09\x09D．先递增再递减
10．二次函数y＝x2＋bx＋c的图象的对称轴是x＝2,则有( )．
A．f(1)＜f(2)＜f(4)\x09\x09\x09\x09\x09\x09B．f(2)＜f(1)＜f(4)
C．f(2)＜f(4)＜f(1)\x09\x09\x09\x09\x09\x09D．f(4)＜f(2)＜f(1)
二、填空题
11．集合{3,x,x2－2x}中,x应满足的条件是 ．
12．若集合A＝{x | x2＋(a－1)x＋b＝0}中,仅有一个元素a,则a＝___,b＝___．
13．建造一个容积为8 m3,深为2 m的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,那么水池的最低总造价为 元．
14．已知f(x＋1)＝x2－2x,则f(x)＝ ；f(x－2)＝ ．
15．y＝(2a－1)x＋5是减函数,求a的取值范围 ．
16．设f(x)是R上的奇函数,且当x∈［0,＋∞)时,f(x)＝x(1＋x3),那么当x∈
(－∞,0］时,f(x)＝ ．
三、解答题
17．已知集合A＝{x∈R| ax2－3x＋2＝0},其中a为常数,且a∈R．
①若A是空集,求a的范围；
②若A中只有一个元素,求a的值；
③若A中至多只有一个元素,求a的范围．

18．已知M＝{2,a,b},N＝{2a,2,b2},且M＝N,求a,b的值．
19．证明f(x)＝x3在R上是增函数．
20．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝3x4＋ ；　\x09\x09\x09\x09(2)f(x)＝(x－1) ；
(3)f(x)＝ ＋ ；\x09\x09\x09(4)f(x)＝ ＋ ．

第一章 集合与函数概念
参考答案
一、选择题
1．B
解析：集合M是由直线y＝x＋1上除去点(2,3)之后,其余点组成的集合．集合P是坐标平面上不在直线y＝x＋1上的点组成的集合,那么M P就是坐标平面上不含点(2,3)的所有点组成的集合．因此CU(M P)就是点(2,3)的集合．
CU(M P)＝{(2,3)}．故选B．
2．D
解析：∵A的子集有 ,{a},{b},{a,b}．∴集合B可能是 ,{a},{b},{a,b}中的某一个,∴选D．
3．C
解析：由函数的定义知,函数y＝f(x)的图象与直线x＝1是有可能没有交点的,如果有交点,那么对于x＝1仅有一个函数值．
4．B
解析：∵g(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1,∴g(x)＝2x－1．
5．A
解析：要善于从函数的图象中分析出函数的特点．
解法1：设f(x)＝ax(x－1)(x－2)＝ax3－3ax2＋2ax,比较系数得b＝－3a,c＝2a,d＝0．由f(x)的图象可以知道f(3)＞0,所以
f(3)＝3a(3－1)(3－2)＝6a＞0,即a＞0,所以b＜0．所以正确答案为A．
解法2：分别将x＝0,x＝1,x＝2代入f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d中,求得d＝0,a＝
－ b,c＝－ b. ∴f(x)＝b(－ x3＋x2－ x)＝－ ［(x－ )2－ ］．
由函数图象可知,当x∈(－∞,0)时,f(x)＜0,又［(x－ )2－ ］＞0,∴b＜0．
x∈(0,1)时,f(x)＞0,又［(x－ )2－ ］＞0,∴b＜0．
x∈(1,2)时,f(x)＜0,又［(x－ )2－ ］＜0,∴b＜0．
x∈(2,＋∞)时,f(x)＞0,又［(x－ )2－ ］＞0,∴b＜0．
故b∈(－∞,0)．
6．C
由f(－4)＝f(0),f(－2)＝－2,
得 ,∴ ．
∴f(x)=
由 得x＝－1或x＝－2；由 得x＝2．
综上,方程f(x)＝x的解的个数是3个．
7．A
在集合A中取元素6,在f：x→y＝ x作用下应得象3,但3不在集合B＝
｛y｜0≤y≤2｝中,所以答案选A．
8．A
提示：①不对；②不对,因为偶函数或奇函数的定义域可能不包含0；③正确；④不对,既是奇函数又是偶函数的函数还可以为f(x)＝0,x∈(－a,a)．所以答案选A．
9．C
解析：本题可以作出函数y＝x2－6x＋10的图象,根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增．答案选C．
10．B
解析：∵对称轴 x＝2,∴f(1)＝f(3). ∵y在〔2,＋∞〕上单调递增,
∴f(4)＞f(3)＞f(2),于是 f(2)＜f(1)＜f(4)． ∴答案选B．
二、填空题
11．x≠3且x≠0且x≠－1．
解析：根据构成集合的元素的互异性,x满足
解得x≠3且x≠0且x≠－1．
12．a＝ ,b＝ ．
解析：由题意知,方程x2＋(a－1)x＋b＝0的两根相等且x＝a,则△＝(a－1)2－4b＝0①,将x＝a代入原方程得a2＋(a－1)a＋b＝0 ②,由①②解得a＝ ,b＝ ．
13．1 760元．
解析：设水池底面的长为x m,水池的总造价为y元,由已知得水池底面面积为4 m2.,水池底面的宽为 m．
池底的造价 y1＝120×4＝480．
池壁的造价 y2＝(2×2x＋2×2× )×80＝(4x＋ )×80．
水池的总造价为 y＝y1＋y2＝480＋(4x＋ )×80,
即 y＝480＋320(x＋ )
＝480＋320 ．
当 ＝ , 即x＝2时,y有最小值为 480＋320×4=1 760元．
14．f(x)＝x2－4x＋3,f(x－2)＝x2－8x＋15．
解析：令x＋1＝t,则x＝t－1,因此f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3,即f(x)＝x2－4x＋3．∴f(x－2)＝(x－2)2－4(x－2)＋3＝x2－8x＋15．
15．(－∞, )．
解析：由y =(2a－1)x＋5是减函数,知2a－1＜0,a＜ ．
16．x(1－x3)．
解析：任取x∈(－∞,0］, 有－x∈［0,＋∞),
∴f(－x)＝－x［1＋(－x)3］＝－x(1－x3),
∵f(x)是奇函数,∴ f(－x)＝－f(x). ∴ f(x)＝－f(－x)＝x(1－x3),
即当x∈(－∞,0］时,f(x)的表达式为x(1－x3)．
三、解答题
17．①∵A是空集,
∴方程ax2－3x＋2＝0无实数根．
∴ 解得a＞ ．
②∵A中只有一个元素,
∴方程ax2－3x＋2＝0只有一个实数根．
当a＝0时,方程化为－3x＋2＝0,只有一个实数根x＝ ；
当a≠0时,令Δ＝9－8a＝0,得a＝ ,这时一元二次方程ax2－3x＋2＝0有两个相等的实数根,即A中只有一个元素．
由以上可知a＝0,或a＝ 时,A中只有一个元素．
③若A中至多只有一个元素,则包括两种情形：A中有且仅有一个元素；A是空集．由①②的结果可得a＝0,或a≥ ．
18．根据集合中元素的互异性,有

解得 或 或
再根据集合中元素的互异性,得 或
19．证明：设x1,x2∈R且x1＜x2,则
f(x1)－f(x2)＝ － ＝(x1－x2)( ＋x1x2＋ )．
又 ＋x1x2＋ ＝(x1＋ x2)2＋ ．
由x1＜x2得x1－x2＜0,且x1＋ x2与x2不会同时为0,
否则x1＝x2＝0与x1＜x2矛盾,
所以 ＋x1x2＋ ＞0．
因此f(x1)－ f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2),
f(x)＝x3 在 R上是增函数．
20．(1)∵ 函数定义域为{x | x∈R,且x≠0},
f(－x)＝3(－x)4＋ ＝3x4＋ ＝f(x),∴f(x)＝3x4＋ 是偶函数．
(2)由 ≥0 解得－1≤x＜1．
∴ 函数定义域为x∈［－1,1),不关于原点对称,∴f(x)＝(x－1) 为非奇非偶函数．
(3)f(x)＝ ＋ 定义域为x＝1,
∴ 函数为f(x)＝0(x＝1),定义域不关于原点对称,
∴f(x)＝ ＋ 为非奇非偶函数．
(4)f(x)＝ ＋ 定义域为 Þ x∈{±1},
∴函数变形为f(x)＝0 (x＝±1),∴f(x)= ＋ 既是奇函数又是偶函数．