作业帮请问1的4次方+到N的四次方这道题目最后令其为M后,求M时,1三次方+到N的三次方怎么算,1的2次方+到N的二次方是怎么算得
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 20:38:23
请问1的4次方+到N的四次方这道题目最后令其为M后,求M时,1三次方+到N的三次方怎么算,1的2次方+到N的二次方是怎么算得
请问1的4次方+到N的四次方这道题目最后令其为M后,求M时,1三次方+到N的三次方怎么算,1的2次方+到N的二次
方是怎么算得
请问1的4次方+到N的四次方这道题目最后令其为M后,求M时,1三次方+到N的三次方怎么算,1的2次方+到N的二次方是怎么算得
要用到二项式定理,利用
(n+1)^(m+1)-n^(m+1)=C(m+1,1)*n^m+C(m+1,2)*n^(m-1)+...+1
...
2^(m+1)-1=C(m+1,1)*1^m+C(m+1,2)*1^(m-1)+...+1
将上面n个式子相加,左边是错位相减,所以得到很简单的式子,右边则出现了要计算的和.
(n+1)^(m+1)-1=C(m+1,1)∑n^m+C(m+1,2)∑n^(m-1)+...+n
移项即得到递推式：
C(m+1,1)∑n^m=(n+1)^(m+1)-1-[C(m+1,2)∑n^(m-1)+...+n]
为方便书写,记S(m,n)=∑n^m,那么
C(m,1)S(m,n)=(n+1)^(m+1)-1-[C(m+1,2)S(m-1,n)+...+S(0,n)]
当m=0,1时
S(0,n)=1+1+...+1=n
S(1,n)=1+2+...+n=(n+1)n/2
当m=2时
2S(2,n)=(n+1)^3-1-[3S(1,n)+S(0,n)]=n(n+1)(2n+1)/2
所以：S(2,n)=n(n+1)(2n+1)/6
同理可得：
S(3,n)=n²(n+1)²/4
S(4,n)=n(2n+1)(n+1)(3n² +3n-1)/30
S(5,n)=n²(n+1)²(2n²+2n-2)/12
.
1^3+2^3+…=[n*﹙n+1﹚／2]²
1²+2²+...=n*(n+1)*(2n+1)/2