作业帮求导：f(x)=(e^x+1)/e^x
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 15:35:28
求导：f(x)=(e^x+1)/e^x
求导：f(x)=(e^x+1)/e^x
求导：f(x)=(e^x+1)/e^x
f(x)=(e^x+1)/e^x = 1 + 1/e^x = 1 + e^(-x)
f '(x) = [1 + e^(-x)] '
= [e^(-x)] '
=[e^(-x)]*(-x)'
=[e^(-x)]*(-1)
= -e^(-x)
= -1/e^x,即f '(x) = -1/e^x
f(x)=(1+1/x)^x=e^(ln(1+1/x)^x)=e^(xln(1+1/x))
然后就按复合函数求导法则求即可，求出来很复杂，这里就不打了
如果你只是为了证明f(x)是增函数，可以先取对数，即令g(x)=lnf(x)=xln(1+1/x)，再只要对g(x)求导，证明g(x)是单调递增函数就行了。
事实上，这种指数和底数都含有未知数（自变量）的问题，先不管三七二十...
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f(x)=(1+1/x)^x=e^(ln(1+1/x)^x)=e^(xln(1+1/x))
然后就按复合函数求导法则求即可，求出来很复杂，这里就不打了
如果你只是为了证明f(x)是增函数，可以先取对数，即令g(x)=lnf(x)=xln(1+1/x)，再只要对g(x)求导，证明g(x)是单调递增函数就行了。
事实上，这种指数和底数都含有未知数（自变量）的问题，先不管三七二十一取一下对数有时会有意想不到的效果。
至于f(x)=（1+1/X)^X的极限是e，这是定义，高等数学的知识体系里，先证明这个函数当x趋于∞时有极限(证明过程涉及高等数学知识，这里不再赘述），然后数学上就把这个极限定义为常数e，e就是这么来的
利用导数并不能直接求零点，不过你可以利用导数讨论出函数的单调性，再作出函数简图，进而讨论它的零点。就像你讨论f(x)=x³的零点，利用导数可知f(x)在R上单调递增，而又恰好有f(0)=0，故可知x＜0时f(x)＜f(0)=0,x＞0时f(x)＞f(0)=0,故f(x)在R上只有一个零点。当然要求f(x)=x³的零点不必这么麻烦，直接解方程就行了，这里只是作个例子而已
希望对你有帮助。
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