作业帮已知A,B,C,D是空间的四个不同的点,求证直线AC垂直于BD的充分必要条件是：AD^2+BC^2=CD^2+AB^2
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 02:36:53
已知A,B,C,D是空间的四个不同的点,求证直线AC垂直于BD的充分必要条件是：AD^2+BC^2=CD^2+AB^2
已知A,B,C,D是空间的四个不同的点,求证直线AC垂直于BD的充分必要条件是：AD^2+BC^2=CD^2+AB^2
已知A,B,C,D是空间的四个不同的点,求证直线AC垂直于BD的充分必要条件是：AD^2+BC^2=CD^2+AB^2
① 先证充分性,即,由AD^+BC^=CD^+AB^ => AC⊥BD
过A作AE⊥BD于E,连接CE
∴∠AEB=∠AED=90°
在Rt△ABE与Rt△ADE中,由勾股定理得：
AB^=AE^+BE^
AD^=AE^+DE^
AB^-AD^=BE^-DE^
由命题：AD^+BC^=CD^+AB^
AB^-AD^=BC^-CD^
BE^-DE^=BC^-CD^
在△BCE和△DCE中,分别应用余弦定理：
BC^=BE^+CE^-2BE*CE*cos∠BEC
CD^=DE^+CE^-2DE*CE*cos∠DEC
BC^-CD^=BE^-DE^+2CE*(DE*cos∠DEC-BE*∠BEC)
BE^-DE^=BE^-DE^+2CE*(DE*cos∠DEC-BE*∠BEC)
DE*cos∠DEC-BE*∠BEC=0
∵∠DEC+∠BEC=π
∴cos∠BEC=-cos∠DEC
(DE+BE)*cos∠DEC=0
cos∠DEC=0
∠DEC=90°
∴CE⊥BD
于是,AE⊥BD,CE⊥BD
∴BD⊥面AEC
∴BD⊥AC
2.必要性 即：由BD⊥AC => AD^+BC^=CD^+AB^
依然是过A作AE⊥BD于E,连接CE
因为BD⊥AC,BD⊥AE
∴BD⊥面AEC
∴BD⊥CE
于是,在Rt△ABE,Rt△ADE,Rt△BCE,Rt△DCE中,分别运用勾股定理,得：
AB^=BE^+AE^
AD^=DE^+AE^
BC^=BE^+CE^
CD^=DE^+CE^
AB^+CD^=AE^+BE^+CE^+DE^
AD^+BC^=AE^+BE^+CE^+DE^
AD^+BC^=AB^+CD^
得证