已知a.b.c是三角形的三边,且满足(a+b+c)(a+b+c)=3(aa+bb+cc),求证;这个三角形是等腰三角形

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 08:09:44

已知a.b.c是三角形的三边,且满足(a+b+c)(a+b+c)=3(aa+bb+cc),求证;这个三角形是等腰三角形
已知a.b.c是三角形的三边,且满足(a+b+c)(a+b+c)=3(aa+bb+cc),求证;这个三角形是等腰三角形

已知a.b.c是三角形的三边,且满足(a+b+c)(a+b+c)=3(aa+bb+cc),求证;这个三角形是等腰三角形
(a+b+c)^2=3(a^2+b^2+c^2)
a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=3a^2+3b^2+3c^2
2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0
(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
所以(a-b)^2=0,(b-c)^2=0,(c-a)^2=0
a-b=0,b-c=0,c-a=0
所以a=b=c
所以这是等边三角形,当然也是等腰三角形

（a+b+c)^2=3（a^2+b^2+c^2）
a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=3a^2+3b^2+3c^2
2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ac
2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0
(a^2+b^2-2ab)+(b^2+c^2-2bc)+(a^2+c^2-2ac)=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0
a-b=0,b-c=0,a-c=0
a=b=c
这个三角形是等边三角形

(a+b+c)(a+b+c)=3(aa+bb+cc)
(a+b+c)(a+b+c)-3(aa+bb+cc)=0
aa+bb+cc+2ab+2ac+2bc-3aa-3bb-3cc=0
2aa+2bb+2cc-2ab-2ac-2bc=0
aa+bb-2ab +aa+cc-2ac +bb+cc-2bc=0
(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2=0
三个大于或等于0的数相加等于0，必须三个数同时等于0
所以a=b=c
等边三角形

(a+b+c)(a+b+c)=3(aa+bb+cc)
(a+b+c)(a+b+c)-3(aa+bb+cc)=0
aa+bb+cc+2ab+2ac+2bc-3aa-3bb-3cc=0
2aa+2bb+2cc-2ab-2ac-2bc=0
aa+bb-2ab +aa+cc-2ac +bb+cc-2bc=0
(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2=0