作业帮有关高数的证明题设函数 f(x)在[0,∞)上有二阶连续导数,且对任意x>=0有 f(x)的二阶导数>=k,其中k>0为一常数,f（0）
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 18:53:26
有关高数的证明题设函数 f(x)在[0,∞)上有二阶连续导数,且对任意x>=0有 f(x)的二阶导数>=k,其中k>0为一常数,f（0）
有关高数的证明题
设函数 f(x)在[0,∞)上有二阶连续导数,且对任意x>=0有 f(x)的二阶导数>=k,其中k>0为一常数,f（0）
有关高数的证明题设函数 f(x)在[0,∞)上有二阶连续导数,且对任意x>=0有 f(x)的二阶导数>=k,其中k>0为一常数,f（0）
做f(x)在x=0处的泰勒展开
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(η)x²,η∈(0,x)
所以当x→+∞时,f(x)→+∞＞0,而f(0)＜0
由零值存在定理知,f(x)在[0,∞)上必有零点；
假设存在两个零点0＜x1＜x2使f(x1)=f(x2)=0
则在(0,x1)上存在α使f'(α)=[f(x1)-f(0)]/(x1-0)＞0
在(x1,x2)上存在β使f'(β)=0
又f''(x)＞0,即f'(x)要递增,f'(α)＜f'(β)
与上面结论矛盾
有难度，细看以下步骤：
x>=0， f(x)=f(0)+f'(0)x+(f''(s)x^2)/2 (Taylor公式)
（1）若 f ‘(0)>=0, 由f’‘(x)>0,所以，f '(x)> f ‘(0)>0,f(x)严格单增，
令f(0)+f'(0)x+(f''(s)x^2)/2 =0，由判别式可得：必存在x1=...>0, 使 f(x1)=0,
so it ...
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有难度，细看以下步骤：
x>=0， f(x)=f(0)+f'(0)x+(f''(s)x^2)/2 (Taylor公式)
（1）若 f ‘(0)>=0, 由f’‘(x)>0,所以，f '(x)> f ‘(0)>0,f(x)严格单增，
令f(0)+f'(0)x+(f''(s)x^2)/2 =0，由判别式可得：必存在x1=...>0, 使 f(x1)=0,
so it is easy to see f(x)在[0,∞)上有且仅有一个零点。
(2) 若 f ‘(0)<0,x->+无穷时， limf(x)=+无穷，所以，在x=0 的左邻域内，f(x)单减，所以f(x)在
x》0时，有极小值 f(x2)
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