作业帮已知abcd满足a+b+c+f=3 a^2+2b^2+3c^2+6d^2=5试求a的最值已知abc∈R+ 且a+b+c=1 求证（1+a）（1+b）（1+c）大于等于8*(1-a)(1-b)(1-c)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 13:03:24
已知abcd满足a+b+c+f=3 a^2+2b^2+3c^2+6d^2=5试求a的最值已知abc∈R+ 且a+b+c=1 求证（1+a）（1+b）（1+c）大于等于8*(1-a)(1-b)(1-c)
已知abcd满足a+b+c+f=3 a^2+2b^2+3c^2+6d^2=5试求a的最值
已知abc∈R+ 且a+b+c=1 求证（1+a）（1+b）（1+c）大于等于8*(1-a)(1-b)(1-c)
已知abcd满足a+b+c+f=3 a^2+2b^2+3c^2+6d^2=5试求a的最值已知abc∈R+ 且a+b+c=1 求证（1+a）（1+b）（1+c）大于等于8*(1-a)(1-b)(1-c)
*[(a+b)(a+c)]^(1/2)*2[(b+a)(b+c)]^(1/2)*2[(c+a)(c+b)]^(1/2)
由柯西不等式http://baike.baidu.com/view/7618.htm的一个变形得：
5-a^2=2b^2+3c^2+6d^2
=b^2/(1/2)+c^2/(1/3)+d^2/(1/6)
>=(b+c+d)^2/(1/2+1/3+1/6)
=(b+c+d)^2
由因为a+b+c+d=3，所以b+c+d=3-a，代入上面的不等式得： ...
全部展开
由柯西不等式http://baike.baidu.com/view/7618.htm的一个变形得：
5-a^2=2b^2+3c^2+6d^2
=b^2/(1/2)+c^2/(1/3)+d^2/(1/6)
>=(b+c+d)^2/(1/2+1/3+1/6)
=(b+c+d)^2
由因为a+b+c+d=3，所以b+c+d=3-a，代入上面的不等式得：
5-a^2>=(3-a)^2
解此不等式得 1<=a<=2
所以a的最小值为1，最大值为2
将a+b+c=1带入(1+a)(1+b)(1+c)
即(a+a+b+c)(b+a+b+c)(c+a+b+c)
=[(a+b)+(a+c)][(b+a)+(b+c)][(c+a)+(c+b)]
≥2*[(a+b)(a+c)]^(1/2)*2[(b+a)(b+c)]^(1/2)*2[(c+a)(c+b)]^(1/2)
=8(b+c)(a+c)(a+b)
=8(1-a)(1-b)(1-c)
当且仅当a=b=c=1/3是取等号
收起