作业帮已知x+y+z=3,且（x-1）立方+（y-1）立方+（z-1）立方=0,求证x,y,z中至少有一个为1
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 05:40:24
已知x+y+z=3,且（x-1）立方+（y-1）立方+（z-1）立方=0,求证x,y,z中至少有一个为1
已知x+y+z=3,且（x-1）立方+（y-1）立方+（z-1）立方=0,求证x,y,z中至少有一个为1
已知x+y+z=3,且（x-1）立方+（y-1）立方+（z-1）立方=0,求证x,y,z中至少有一个为1
由已知得：(x－1)＋(y－1)＋(z－1)＝0
又(x－1)^3＋(y－1)^3＋(z－1)^3
＝[(x－1)＋(y－1)＋(z－1)]·[(x－1)^2＋(y－1)^2＋(z－1)^2－(x－1)(y－1)－(y－1)(z－1)－(z－1)(x－1)]＋3(x－1)(y－1)(z－1)
＝3(x－1)(y－1)(z－1)
而(x－1)^3＋(y－1)^3＋(z－1)^3＝0
∴3(x－1)(y－1)(z－1)＝0
∴x－1、y－1、z－1中至少有一个为零
即x、y、z中至少有一个为1
用到了一个结论：
a^3＋b^3＋c^3＝(a＋b＋c)(a^2＋b^2＋c^2－ab－bc－ca)＋3abc
当a＋b＋c＝0时,则a^3＋b^3＋c^3＝3abc
证明：
用反证法， 设x，y，z分别为1+a，1+b，1+c，其中a≠0，b≠0，c≠0
那么由题意有a+b+c=0--------------------①
a^3+b^3+c^3=0--------------②
由①有：a=-(b+c)--------------------③
将③代入②得到...
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证明：
用反证法， 设x，y，z分别为1+a，1+b，1+c，其中a≠0，b≠0，c≠0
那么由题意有a+b+c=0--------------------①
a^3+b^3+c^3=0--------------②
由①有：a=-(b+c)--------------------③
将③代入②得到：
-(b+c)^3+b^3+c^3=0,化简得到：
3bc(b+c)=0
因为b≠0，c≠0，那么b+c=0
那么由③得到a=-(b+c)=0,与题设矛盾
得证。
希望能帮到你~
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根据公式 a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)
可得出（x-1）立方+（y-1）立方+（z-1）立方-3（x-1）（y-1）（z-1）
=（x+y+z-3）[（x-1）^2+（y-1）^2+（z-1）^2-（x-1）（y-1）-（y-1）（z-1）-（z-1）（x-1）]
=0
即3（x-1）（y-1）（z-...
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根据公式 a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)
可得出（x-1）立方+（y-1）立方+（z-1）立方-3（x-1）（y-1）（z-1）
=（x+y+z-3）[（x-1）^2+（y-1）^2+（z-1）^2-（x-1）（y-1）-（y-1）（z-1）-（z-1）（x-1）]
=0
即3（x-1）（y-1）（z-1）=0，所以x，y，z中至少有一个为1
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