证明不等式：绝对值sinx2-sinx1小于等于绝对值x2-x1

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 17:24:31

证明不等式：绝对值sinx2-sinx1小于等于绝对值x2-x1
证明不等式：绝对值sinx2-sinx1小于等于绝对值x2-x1

证明不等式：绝对值sinx2-sinx1小于等于绝对值x2-x1
[[注:应用"拉格朗日中值定理"证明]]
证明
构造函数
f(x)=sinx.x∈[x1,x2]
由拉格朗日中值定理可知
函数f(x)=sinx在区间[x1,x2]上连续可导,
∴存在实数t∈[x1,x2]
满足f(x2)-f(x1)=f'(t)(x2-x1)
∵f'(t)=cost,且由三角函数有界性可知 |cost|≤1
∴|f(x2)-f(x1)|=|cost(x2-x1)|≤|x2-x1|
即|sinx2-sinx1|≤|x2-x1|

Lagrange 中值公式：
sin x2 - sin x1 = cosξ * (x2 - x1), 其中 ξ 介于 x1与x2 之间，
|cosξ| ≤ 1
∴ |sin x2 - sin x1 | ≤ | x2 - x1|

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