作业帮已知函数f（x）满足f（logx）=a/a2-1* （x-x的-1次方）（a>0,且a不=1）1.求f（x）的解析式并判断其单调性；2.对定义在（-1,1）上的函数f（x）,若f(1-m)+f(1-m2)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 14:14:27
已知函数f（x）满足f（logx）=a/a2-1* （x-x的-1次方）（a>0,且a不=1）1.求f（x）的解析式并判断其单调性；2.对定义在（-1,1）上的函数f（x）,若f(1-m)+f(1-m2)
已知函数f（x）满足f（logx）=a/a2-1* （x-x的-1次方）（a>0,且a不=1）
1.求f（x）的解析式并判断其单调性；
2.对定义在（-1,1）上的函数f（x）,若f(1-m)+f(1-m2)
已知函数f（x）满足f（logx）=a/a2-1* （x-x的-1次方）（a>0,且a不=1）1.求f（x）的解析式并判断其单调性；2.对定义在（-1,1）上的函数f（x）,若f(1-m)+f(1-m2)
马桶诶,
（1）令logaX＝t,x＞0
∴t∈R,则x＝a^t
代入得f（t）＝a×（a^t－a^－t）/（a^2－1）
将t换成x,得到表达式f（x）＝a×（a^x－a^－x）/（a^2－1）,x∈R.
然后考察它的奇偶性,单调性：
令x＝－x,代入得f（－x）＝a×（a^－x－a^x）/（a^2－1）
它恰好等于－f（x）.
∴函数是奇函数.
然后看单调性,求导：
f`（x）＝a/（a^2－1）×（a^x×㏑a＋a^－x×lna）＝a/（a^2－1）×lna×（a^x＋a^－x）
当0＜a＜1,导数大于0；当a＞1,还是大于0.
∴函数是增函数.
（2）（去掉f的办法是移向,利用奇偶性,单调性去掉符号.）
注意定义域,这里是（－1,1）,所以得有－1＜1－m＜1,且－1＜1－m^＜1．
然后移向,f（1－m）＜－f（1－m^2）＝f（m^2－1）
又因为是增函数,∴1－m＜m^2－1．
解这三个关于m的范围,取交集,0＜m＜1．
（3）f（x）－4＜0,在区间（－∞,2）上恒成立
即f（x）＜4恒成立,即f（x）的最大值＜4即可.
f（x）是增函数,令x＝2,代入方程,得a×（a^2－a^－2）/（a^2－1）＜4．
（注意,其实这里的x＝2是取不到的,但可以用到不等式中,只要注意这个边界值是否可以取到即可.若可以取到,则有时候会写成≤某个值的情况,要注意）
解这个不等式,得（a^4－1）/a^2＝（a^2－1）×（a^2＋1）/a^2
分子分母约掉一个（a^2－1）,最后整理得a^2－4a＋1＜0
解得－√3＋2＜a＜√3＋2
然后与a＞0且a≠1取交集,得a的范围是（－√3＋2,1）∪（1,√3＋2）.
你的已知条件是这个吗？