作业帮已知数列{An}中,A1=1,且对任意的正整数m,n满足Am+n=Am+An+mn.求数列An的通项公式.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 05:52:12
已知数列{An}中,A1=1,且对任意的正整数m,n满足Am+n=Am+An+mn.求数列An的通项公式.
已知数列{An}中,A1=1,且对任意的正整数m,n满足Am+n=Am+An+mn.求数列An的通项公式.
已知数列{An}中,A1=1,且对任意的正整数m,n满足Am+n=Am+An+mn.求数列An的通项公式.
m=1
A(n+1)=An+A1+n=An+n+1
A2=A1+1+1
A3=A2+2+1
.
An=A(n-1)+(n-1)+1
以上式子相加得：
An=A1+n(n-1)/2+(n-1)=1+(n-1)(n+2)/2=n(n+1)/2
因为A1=1，A2=A1+1=A1+A1+1*1=3，同理得到A3=6,A4=10，可以猜测数列为An=1/2n^2+1/2n，因为Am+n=1/2（n+m）^2+1/2（n+m）=（1/2m^2+1/2m)+(1/2n^2+1/2n)+mn=Am+An+mn,所以等式成立，所以An的通项公式An=1/2n^2+1/2n
是不是A﹙m+n﹚＝Am＋An＋mn？A₁＝1 A₂＝A₁＋A₁＋1＝3 A₃＝A₁＋A₂＋2＝6 A₄＝A₂＋A₂＋4＝10
可看出An－A﹙n－1﹚＝n
A﹙n－1﹚－A﹙n－2﹚＝n－z
...
全部展开
是不是A﹙m+n﹚＝Am＋An＋mn？A₁＝1 A₂＝A₁＋A₁＋1＝3 A₃＝A₁＋A₂＋2＝6 A₄＝A₂＋A₂＋4＝10
可看出An－A﹙n－1﹚＝n
A﹙n－1﹚－A﹙n－2﹚＝n－z
………………
A₂－A₁＝2
各式累加An－A₁＝﹙2＋n﹚﹙n－1﹚／2
所以An＝﹙n＋2﹚﹙n－1﹚／2 ＋1
不知道用证明吗
收起