作业帮已知：函数f(x)=x^3+bx^2+cx+d在(-∞,0)是增函数,在(0,2)是减函数,且方程f(x)=0有三个根,从小到大依次为m,2,n.求|m-n|的取值范围.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 01:33:47
已知：函数f(x)=x^3+bx^2+cx+d在(-∞,0)是增函数,在(0,2)是减函数,且方程f(x)=0有三个根,从小到大依次为m,2,n.求|m-n|的取值范围.
已知：函数f(x)=x^3+bx^2+cx+d在(-∞,0)是增函数,在(0,2)是减函数,且方程f(x)=0有三个根,从小到大依次为m,2,n.求|m-n|的取值范围.
已知：函数f(x)=x^3+bx^2+cx+d在(-∞,0)是增函数,在(0,2)是减函数,且方程f(x)=0有三个根,从小到大依次为m,2,n.求|m-n|的取值范围.
函数f(x)=x^3+bx^2+cx+d在(-∞,0)是增函数,在(0,2)是减函数,
可知x=0是f'(x)=0的根
f'(x)=3x^2+2bx+c=0
c=0
故：f(x)=x^3+bx^2+d
又2是f(x)=0的根,得：4b+d=-8
由于f(x)=0有三个根
设f(x)=(x-m)(x-2)(x-n)
=x^3-(2+m+n)x^2+(1m+2n+mn)x-2mn
则b=-2-m-n,d=-2mn
|m-n|^2=(m+n)^2-4mn=(b+2)^2+2d
=(b+2)^2-2(4b-8)
=(b-2)^2-16
因f'(x)=3x^2+2bx=0的两个根是x1=0,x2=-2b/3
在（0,2） 上减,故-2b/3≥2,b≤-3
故 |m-n|^2≥9
|m-n|≥3
f'(x)=3x^2+2bx+c
f'(0)=c=0
f'(2)=12+4b+c≤0
f(2)=8+4b+2c+d=0
得
b≤-3,c=0,d=-8-4b
f(x)=x^3+bx^2-8-4b=(x-2)(x^2+(b+2)x+2b+4)
|m-n|=√(b^2-4b-12)=√[(b-2)^2-16]≥3
故|m-n|的取值范围为（3，+∞）