设 N=301×302×...×2005×2006,请问:(1)N 的末尾一共会出现多少个连续的数字“0”?(2)用 N 不断除以 12,直到结果不能被 12 整除为止,一共可以除以多少次12?

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/02 20:53:27
设 N=301×302×...×2005×2006,请问:(1)N 的末尾一共会出现多少个连续的数字“0”?(2)用 N 不断除以 12,直到结果不能被 12 整除为止,一共可以除以多少次12?

设 N=301×302×...×2005×2006,请问:(1)N 的末尾一共会出现多少个连续的数字“0”?(2)用 N 不断除以 12,直到结果不能被 12 整除为止,一共可以除以多少次12?
设 N=301×302×...×2005×2006,请问:
(1)N 的末尾一共会出现多少个连续的数字“0”?
(2)用 N 不断除以 12,直到结果不能被 12 整除为止,一共可以除以多少次12?

设 N=301×302×...×2005×2006,请问:(1)N 的末尾一共会出现多少个连续的数字“0”?(2)用 N 不断除以 12,直到结果不能被 12 整除为止,一共可以除以多少次12?
这两问,都是关于连乘积N里含有多少个特定因数的问题.
(1)
N中因数2足够多,因此末尾0的个数取决于N中因数5的个数.
2006-301+1 = 1706
因数5的个数 =
2006\5 + 2006\25 + 2006\125 + 2006\625 - (300\5 + 300\25 + 300\125)
= 401+80+16+3-60-12-2
= 426 个
所以,N末尾有426个连续0.
(2)
N中因数3比因数4多,因此最多可以除去多少次12,取决于N中因数4的个数.
N中因数2的个数
= 2006\2 + 2006\4 + 2006\8 + 2006\16 + …… + 2006\1024 - (300\2 + 300\4 + 300\8 + …… + 300\256)
= 1003+501+250+125+62+31+15+7+3+1-150-75-37-18-9-4-2-1
= 1702
则N中因数4的个数 = 1702/2 = 851 个.
所以,用 N 不断除以 12,直到结果不能被 12 整除为止,一共可以除以851次12.
以上符号“\”表示“做除法得商,并向下取整”.

1.
一个因数2与一个因数5相乘,会在乘积的末尾增加1个0
连续的自然数相乘,因数2足够多,只需要看有多少个因数5
2011÷5=402余1
402÷5=80余2
80÷5=16
16÷5=3余1
1--2011,因数5一共有402+80+16+3=501个
300÷5=60
60÷5=12
12÷5=2余2
...

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1.
一个因数2与一个因数5相乘,会在乘积的末尾增加1个0
连续的自然数相乘,因数2足够多,只需要看有多少个因数5
2011÷5=402余1
402÷5=80余2
80÷5=16
16÷5=3余1
1--2011,因数5一共有402+80+16+3=501个
300÷5=60
60÷5=12
12÷5=2余2
1--300,因数5有60+12+2=74个
301--2011,因数5一共:501-74=427个
所以n的末尾有427个0
2.
12=3×4
看看因数3和4一有多少
因数4要少于因数3,只需要看因数4的个数
2011÷4=502余3
502÷4=125余2
125÷4=31余2
31÷4=7余3
7÷4=1余3
300÷4=75
75÷4=18余2
18÷4=4余2
4÷4=1
因数4一共:(502+125+31+7+1)-(75+18+4+1)=568个
可以除568次

收起

二楼的抛开用2011做不说,直接算因数4的个数这个思路貌似问题。
假设题目不是算除以12,而是算除以2的11次方,就是除以2048的次数,
难道要直接算因数2048的个数 即2011/2048 = 0 ,推得一次除以2048都没法做吗?显然不对啊