设x1=2,Xn+1=1/2(Xn+1/Xn)(n=1,2,…),证明数列{Xn}收敛,并求其极限.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/06 18:53:47

设x1=2,Xn+1=1/2(Xn+1/Xn)(n=1,2,…),证明数列{Xn}收敛,并求其极限.
设x1=2,Xn+1=1/2(Xn+1/Xn)(n=1,2,…),证明数列{Xn}收敛,并求其极限.

设x1=2,Xn+1=1/2(Xn+1/Xn)(n=1,2,…),证明数列{Xn}收敛,并求其极限.
先用数归证1

Xn显然>0
由均值不等式
X(n+1)>=1
X(n+1)-Xn=1/2(1/xn-xn)<=0
Xn递减且有下界，收敛
设limXn=a>0
由Xn+1=1/2(Xn+1/Xn)
a=1/2(a+1/a)
=>a=1
希望对你有帮助！

全部展开

不动点法。令f（x）=（1/2）[x+（1/x）]，x＞0
f'（x）=（1/2）（x²-1）/x²，可知当x＞1时f'（x）＞0，f（x）为增函数
令f（x）＞x，即（1/2）[x+（1/x）]＞x，得0＜x＜1，可知不动点为x=1，x＞1时f（x）＜x
x1=2＞1，于是f（1）＜f（x1）＜x1，
得1＜x2＜x1，同理f（1）＜f（x2）＜x2，即1＜x3＜x2
于是可得1＜x（n+1）＜xn，得xn递减且有下限，即{xn}收敛。于是xn极限存在
令A为xn极限
有A=（1/2）[A+（1/A）]且A≥1
得A=1

收起

设x1,x2,x3.xn都是正数,求证:x1^2/x2+x2^2/x2+.+xn-1^2/xn+xn^2/x1>=x1+x2+x3+.+xn. 1,x1,x2...Xn,成等比数列,x1 x2..xn>0,x1*x2*...xn=?x1,x2...Xn,2成等比数列,x1 x2..xn>0,x1*x2*...xn=? 设数列{xn}满足x1=1 xn=(4xn-1+2)/(2xn-1+7) 设x1=1,x2=2,xn+2=根号下xn+1*xn 求limn→∞ xn 设X1>0,xn+1=3(1+xn) / 3+xn (n=1,2…)求lim xn. X1=1,Xn=1+Xn/(1+Xn),n=1,2…,求Xn 设X1=lna,Xn+1=Xn+ln(a-xn),求Xn极限求{Xn} Xn+1=2Xn-(Xn)的平方 Xi>=0,X1+X2...+Xn=1,n>=2,求证X1X2(X1+X2)+...+X1Xn(X1+Xn)+X2X3(X2+X3)...Xn-1Xn(Xn-1+Xn) 设xi∈R+(i=1,2,n),求证:x1^x1x2^x2,xn^xn≥(x1x2,xn)^1/n(x1+x2+,+xn) 设x1>0,xn+1=3(1+xn)/1+xn,(n=1,2,.)证明极限存在设x1=4,xn+1=√(2xn+3),求lim趋于无穷xn存在并求之设x1,x2,...,xn>0,(1)若1,x1,x2,...,xn,2成等差数列,则x1+x2+...+xn=____;(2)若1,x1,x2,...,xn,2成等比数列,则x1*x2*...*xn=_____. 设x1,x2,...,xn属于正实数且x1+x2+...+xn=1,求证:x1^2/1+x1+x2^2/1+x2+...+xn^2/1设x1,x2,...,xn属于正实数且x1+x2+...+xn=1,求证:x1^2/1+x1+x2^2/1+x2+...+xn^2/1+xn=>1/1+n 若递增数列Xn满足X1=1/2,且4Xn*Xn+1=(Xn+Xn+1-1/2)^2,求Xn 设x1=2,Xn+1=1/2(Xn+1/Xn)(n=1,2,…),证明数列{Xn}收敛,并求其极限. 设X1=1,Xn=1+(Xn-1/（1+Xn-1）),n=1,2,…,试证明数列{Xn}收敛,并求其极限设X1=1,xn=1+xn -1/（1+xn-1）（n=2,3…）,证明数列｛xn}收敛,并求其极限值.