作业帮1乘2+2乘3+.+100乘101
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 13:13:05
1乘2+2乘3+.+100乘101
1乘2+2乘3+.+100乘101
1乘2+2乘3+.+100乘101
令S=1*2+2*3+3*4+…+n*(n+1)
则n*(n+1)=(1/3)*{n*(n+1)*[(n+2)-(n-1)]}
=(1/3)*[n*(n+1)*(n+2)-（n-1)*n*（n+1）]
于是S=（1/3）*[1*2*3-0*1*2+2*3*4-1*2*3+…+
n*(n+1)*(n+2)-（n-1)*n*（n+1）]
=(1/3)*n*(n+1)*(n+2)
把n=100代入上式,得
1*2+2*3+3*4+.+100*101的解 为 343400
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+7*8+……+98*99+99*100
=1*2+（2*3+3*4）+（4*5+5*6）+（6*7+7*8）+……+（98*99+99*100）
=2*1²+2*3²+2*5²+2*7²+2*9²+……+2*99²
=2*（1^2+3^2+5^2……+99^2)...
全部展开
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+7*8+……+98*99+99*100
=1*2+（2*3+3*4）+（4*5+5*6）+（6*7+7*8）+……+（98*99+99*100）
=2*1²+2*3²+2*5²+2*7²+2*9²+……+2*99²
=2*（1^2+3^2+5^2……+99^2)
而1²+3²+5²+..........(2n-1)²=n(4n^2-1)/3
这里 n=50
1-100所有奇数的平方和=50*(4*50^2-1)/3=166650
所以1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+7*8+……+98*99+99*100 ＝166650*2=333300
此类题目的公式：
Sn=1*2+2*3+3*4+……+n*(n+1)*(n+2)
n(n+1)=n^2+n
Sn=1×2+2×3+3×4+……+n(n+1)=1^2+1+2^2+2+3^2+3+……+n^2+n
=(1+2+3+……+n)+(1^2+2^2+3^2+……+n^2)
=n(n+1)/2+(1^2+2^2+3^2+……+n^2)
S（n)=n(n+1)(2n+1)/6
s=1^2+2^2+...+n^2
=n(n+1)(2n+1)/6
=(n^2+n)(2n+1)/6
=(2n^3+3n^2+n)/6
收起