作业帮用导数、微分及中值定理证明不等式证明：当x>1时,e^x > ex罗尔定理：如果f(a)=f(b) (a
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 13:50:51
用导数、微分及中值定理证明不等式证明：当x>1时,e^x > ex罗尔定理：如果f(a)=f(b) (a
用导数、微分及中值定理证明不等式
证明：当x>1时,e^x > ex
罗尔定理：如果f(a)=f(b) (a
用导数、微分及中值定理证明不等式证明：当x>1时,e^x > ex罗尔定理：如果f(a)=f(b) (a
令g(x)=e^x-ex
由拉格朗日中值定理
g(t)-g(1)=g'(e)(t-1)
g'(x)=e^x-e
g'(t)>0 当t>1
所以
g(t)-g(1)>0
即对于x>1
g(x)>g(1)=0
即e^x-ex>0
e^x>ex 当x>1
令y=e^x -ex
lny=x-1-lnx
因为x>1，所以lnx<0
所以lny>1
所以y>0
即e^x -ex>0
即e^x > ex
令f(x)=e^x-ex
则
f(x)是连续可导的，且
f'(x)=e^x-e
当x>1时
f'(x)=e^x-e>0
因此当x>1时，f(x)严格单调递增，
这样f(x)>f(1)=0
e^x>ex
设y=e^x-ex,y是基本函数，定义域内连续
则dy=e^x-e, x>1时，dy>0，x=1时，dy=0
x=1为极值点，x>=1时，y单调增
令x=1，则y=0
所以x>1时，y>0,即e^x>ex