已知数列{an}的前n项和为Sn=(n+1)^2+c,探究{an}是等差数列的充要条件

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 21:21:55

$已知数列{an}的前n项和为Sn=(n+1)^2+c,探究{an}是等差数列的充要条件$

已知数列{an}的前n项和为Sn=(n+1)^2+c,探究{an}是等差数列的充要条件
已知数列{an}的前n项和为Sn=(n+1)^2+c,探究{an}是等差数列的充要条件

已知数列{an}的前n项和为Sn=(n+1)^2+c,探究{an}是等差数列的充要条件
n=1代入:a(1)=c+4
S(n)=(n+1)^2+c ……(1)
n+1代入（1）：
S(n+1)=(n+2)^2+c ……(2)
(2)-(1)化简得：
a(n+1)=2n+3
即：a(n)=2n+1
由于 {an} 是等差数列,因此a(1)应该满足通项公式
所以：c+4=3
c=-1
所以充要条件是 c=-1
必要性已证,充分性显然

c=-1
证明：充分性：c=-1时，Sn=n^2+2n
an=Sn-Sn-1=2n+1(n>1)
a1=3满足上式。
an-an-1=2,即{an}是等差数列
必要性：若{an}是等差数列，设an=pn+q(p,q∈R)
Sn=p(1+2+……+n)+qn=p/2*n(n+1)+qn=p/2*n^2+(p/2+q)n
即没有常数项
观察Sn，易得c=-1

Sn-S(n-1)=2n+1=an
an-a（n-1）=2 所以an是等差数列
假设an不是等差数列，则an-a（n-1）=d=Sn-S（n-1）-S（n-1）+S（n-2）=（n+1）^2-2（n-1+1）^2+（n-2+1）^2=2 即an-a（n-1）=2 ，假设不成立，即 an是等差数列

C= -1

已知数列{an}的前n项和为Sn,an+Sn=2,（n 已知数列an的前n项和为sn sn=3(的n次方)+1求数列an 已知数列{an}的前n项和为Sn=-n2-2n,求an 已知数列an的前n项和为Sn,且An=3^n+2n,则Sn等于 1.已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=2^n,求通项an；2.已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=n^2+3n,求通项an；已知数列{an}的前n项和为Sn=n^2-3n,求证：数列{an}是等差数列已知数列{An}的前n项和Sn=3n²-2n,证明数列{An}为等差数列已知数列an的前n项和为sn 若sn=2n-an,求an 数列An的前n项和为Sn,已知A1=1,An+1=Sn*(n+2)/n,证明数列Sn/n是等比数列一道关于数列已知数列{An}的前n项和为Sn,Sn=3+2An,求An 已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=lgn 求通项公式已知数列{an}的通项为an=n,前n项和为Sn,求数列{1/Sn}的前n项和Tn的表达式已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-n（n∈N*）,求数列{an}的通项公式. 已知数列 an的前 n项和为Sn=n-5an-85 ,且n属于N* ,(1 已知数列an的前n项和为sn,且sn+an=n^2+3n+5/2,证明数列{an-n}是等比数列已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1/2,Sn=n^2an-n(n-1)求Sn,an 已知数列｛an｝的前n项和的公式为Sn=32n-n^2,求数列｛|an|}的前n项和S`n 已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=n2的n次方,则Sn=