证明不等式 a^5+b^5≥a^3b^2+a^2b^3 （a>0,b>0)

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/05 00:02:30

证明不等式 a^5+b^5≥a^3b^2+a^2b^3 （a>0,b>0)
证明不等式 a^5+b^5≥a^3b^2+a^2b^3 （a>0,b>0)

证明不等式 a^5+b^5≥a^3b^2+a^2b^3 （a>0,b>0)
a^5+b^5-(a^3b^2+a^2b^3)
=a^5-a^3b^2+b^5-a^2b^3
=a³(a²-b²)+b³(b²-a²)
=(a²-b²)(a³-b³)
=(a+b)(a-b)(a-b)(a²+ab+b²)
=(a+b)(a-b)²(a²+ab+b²)
≥0…………………………………………（因为a>0,b>0）
所以 a^5+b^5≥a^3b^2+a^2b^3

a^5+b^5-a^3b^2-a^2b^3
=a^3(a^2-b^2)+b^3(b^2-a^2)
=(a^2-b^2)(a^3-b^3)
=(a+b)(a-b)^2(a^2+ab+b^2)
a>0,b>0
所以 (a+b)(a-b)^2(a^2+ab+b^2)>=0
即使a^5+b^5≥a^3b^2+a^2b^3

a^5+b^5-(a^3b^2+a^2b^3)
=a^3(a^2-b^2)+b^3(b^2-a^2)
= a^3(a^2-b^2)-b^3(a^2-b^2)
=(a^3-b^3)(a^2-b^2)
显然(a^3-b^3)和(a^2-b^2)要么都为正（a>b）要么都为负（a则乘积一定大于等于0
a^5+b^5-(a^3b^2+a^2b^3)≥0
所以 a^5+b^5≥a^3b^2+a^2b^3

a^5+b^5≥a^3b^2+a^2b^3
<=> a^3(a^2-b^2)-b^3(a^2-b^2)≥0
<=> (a^2-b^2)(a^3-b^3)≥0
<=> (a+b)(a-b)(a-b)(a^2+ab+b^2)≥0
<=> (a+b)(a-b)^2(a^2+ab+b^2)≥0
a>0 b>0
上式显然恒成立
得证

证明：(1)当a=b时，显然等式成立。
(2)当a>b时，a^2>b^2，a^2-b^2>0
a^3>b^3,那么a^3(a^2-b^2)>b^3(a^2-b^2)。
分解得：a^5-a^3b^2>a^2b^3-b^5
交换后式子为：a^5+b^5>a^2...

全部展开

证明：(1)当a=b时，显然等式成立。
(2)当a>b时，a^2>b^2，a^2-b^2>0
a^3>b^3,那么a^3(a^2-b^2)>b^3(a^2-b^2)。
分解得：a^5-a^3b^2>a^2b^3-b^5
交换后式子为：a^5+b^5>a^2b^3+a^3b^2。
即证。
（3）同理a 等式成立的。（不想写了，自己补全）
综上述，不等式a^5+b^5>a^2b^3+a^3b^2成立。（等号自己加上去）

收起

不妨设a'3>b'3>0，所以，a'2>b'2>0，所以由排序不等式可得：a'5+b'5>a'3b'2+a'2b'3

证明不等式 a^5+b^5≥a^3b^2+a^2b^3 （a>0,b>0) 证明不等式：|a-b| 证明不等式：|a+b| 高二不等式的证明证明：a^2+b^2+5>=2(2a-b) 证明不等式(b-a/b) 求绝对值不等式性质证明(1)证明 |a+b|≤|a|+|b|(2) 证明|a+b|≥|a|-|b|谢谢! 证明不等式2ab/(a+b) 证明不等式|a+b|/1+|a+b| 证明不等式|a+b|/(1+|a+b|) 证明不等式|a+b|/1+|a+b| 证明不等式a^2+b^2>2(a-b-2) 利用柯西不等式证明：（a^4+b^4)(a^2+b^2）≥（a^3+b^3)^2 用不等式证明a/b+b/a＞2, 证明以下不等式x2+b2+2≥2(a+b) 证明不等式 a^2+b^2 ≥ ab 恒成立设a、b∈R+,证明b/a^3+a/b^3>=1/a^2+1/b^2 用均值不等式用均值不等式证明设a、b∈R+,证明b/a^3+a/b^3>=1/a^2+1/b^2 用均值不等式用均值不等式证明证明a(a-b)≥b(a-b),要用基本不等式根号ab≥a+b/2 的那个