y=(arctanx)^2,求x=0时y的n阶导数

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 21:54:34

y=(arctanx)^2,求x=0时y的n阶导数
y=(arctanx)^2,求x=0时y的n阶导数

y=(arctanx)^2,求x=0时y的n阶导数
y=(arctanx)^2
y'=2arctanx*(arctanx)'
=2arctanx*[1/(x^2+1)]
=2arctanx/(1+x^2).
y''=[2/(1+x^2)(1+x^2)-2arctanx*2x]/(1+x^2)^2
=2(1-2xarctanx)/(1+x^2)^2

全部展开

y'=1/(1+x^2)
=1-x^2+(x^2)^2-(x^2)^3+...+(-1)^n(x^2)^n+... （相当于等比数列求和。由于这里要求x=0处的导数，所以可以让x足够接近0，从而使这个式子的部分和的极限等于上面那个式子）
=1-x^2+x^4-x^6+...+(-1)^n*x^(2n)+...
所以y=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+...+(-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1)+...
这个就是arctanx在x=0处的泰勒展开式
可见，y^(2k)(0)=0
y^(2k+1)(0)/(2k+1)!=(-1)^k/(2k+1)
y^(2k+1)(0)=(-1)^k*(2k)!
希望对你能有所帮助。

收起

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