已知关于x的一元二次方程x2+cx+a=0的两个整数根恰好比方程x2+ax+b的两个根都大一,求a+b+c的值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/15 07:58:22
已知关于x的一元二次方程x2+cx+a=0的两个整数根恰好比方程x2+ax+b的两个根都大一,求a+b+c的值
已知关于x的一元二次方程x2+cx+a=0的两个整数根恰好比方程x2+ax+b的两个根都大一,求a+b+c的值
已知关于x的一元二次方程x2+cx+a=0的两个整数根恰好比方程x2+ax+b的两个根都大一,求a+b+c的值
设方程x2+ax+b=0的两个根为α,β,
∵方程有整数根,
设其中α,β为整数,且α≤β,
则方程x2+cx+a=0的两根为α+1,β+1,
∴α+β=-a,(α+1)(β+1)=a,
两式相加,得αβ+2α+2β+1=0,
即(α+2)(β+2)=3,
∴α+2=1 β+2=3或α+2=-3 β+2=-1.
解得α=-1 β=1或α=-5 β=-3.
又∵a=-(α+β)=-[(-1)+1]=0,b=αβ=-1×1=-1,c=-[(α+1)+(β+1)]=-[(-1+1)+(1+1)]=-2,
或a=-(α+β)=-[(-5)+(-3)]=8,b=αβ=(-5)×(-3)=15,c=-[(α+1)+(β+1)]=-[(-5+1)+(-3+1)]=6,
∴a=0,b=-1,c=-2;或者a=8,b=15,c=6,
∴a+b+c=0+(-1)+(-2)=-3或a+b+c=8+15+6=29,
故a+b+c=-3,或29.
设x²+cx+a=0的两根为x1,x2
x1+x2=-c
x1*x2=a
则x²+ax+b=0的两根为:
(x1+1)+(x2+1)=-a
(x1+1)(x2+1)=b
可得 -c+2=-a
-c+a+1=b
得 b+2c=3
c=a+2
故 a+b+c=1
设方程x2+ax+b=0 的两个根是x1,x2 x1+x2=-a x1x2=b
方程x2+cx+a=0 的两个是x1+1,x2+1 x1+1+x2+1=-c x1x2+x1+x2+1=a
-a+2=-c b-a+1=a
a-c=2 b-2a=-1
二次方程x2+cx+a=0 的两个根为整数
全部展开
设方程x2+ax+b=0 的两个根是x1,x2 x1+x2=-a x1x2=b
方程x2+cx+a=0 的两个是x1+1,x2+1 x1+1+x2+1=-c x1x2+x1+x2+1=a
-a+2=-c b-a+1=a
a-c=2 b-2a=-1
二次方程x2+cx+a=0 的两个根为整数
所以△=c²-4a是个正数的平方
△=c²-4a=(a-4)²-12
满足条件的只有(a-4)²-12=4时成立
这时a=0或者a=8
当a=0时,b=-1,c=-2
这时x2+cx+a=0 的两个整数根为2和0
x2+ax+b=0 的两个整数根为1和1
不合题意
当a=8时,b=15,c=6
这时x2+cx+a=0 的两个整数根为-2和-4
x2+ax+b=0 的两个整数根为-3和-5
符合题意
a+b+c=8+15+6=29
所以a+b+c 的值 29
收起