作业帮一个幂指函数,猜想其为减函数,但导数法行不,不知其他方法给定如下幂指函数F(x)={[4x^2+(4m+4n-1)x-(5m+2n-1)] / [(4m+4n+1)x-(5m+2n-1)]} ^(m/x)其中m,n均为任意正整数常量,x>2,求证F(x)的最大值小于1+[m/(n+1)]
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 00:11:14
![一个幂指函数,猜想其为减函数,但导数法行不,不知其他方法给定如下幂指函数F(x)={[4x^2+(4m+4n-1)x-(5m+2n-1)] / [(4m+4n+1)x-(5m+2n-1)]} ^(m/x)其中m,n均为任意正整数常量,x>2,求证F(x)的最大值小于1+[m/(n+1)]](/uploads/image/z/2519607-39-7.jpg?t=%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%B9%82%E6%8C%87%E5%87%BD%E6%95%B0%2C%E7%8C%9C%E6%83%B3%E5%85%B6%E4%B8%BA%E5%87%8F%E5%87%BD%E6%95%B0%2C%E4%BD%86%E5%AF%BC%E6%95%B0%E6%B3%95%E8%A1%8C%E4%B8%8D%2C%E4%B8%8D%E7%9F%A5%E5%85%B6%E4%BB%96%E6%96%B9%E6%B3%95%E7%BB%99%E5%AE%9A%E5%A6%82%E4%B8%8B%E5%B9%82%E6%8C%87%E5%87%BD%E6%95%B0F%28x%29%3D%7B%5B4x%5E2%2B%284m%2B4n-1%29x-%285m%2B2n-1%29%5D+%2F+%5B%284m%2B4n%2B1%29x-%285m%2B2n-1%29%5D%7D+%5E%28m%2Fx%29%E5%85%B6%E4%B8%ADm%2Cn%E5%9D%87%E4%B8%BA%E4%BB%BB%E6%84%8F%E6%AD%A3%E6%95%B4%E6%95%B0%E5%B8%B8%E9%87%8F%2Cx%3E2%2C%E6%B1%82%E8%AF%81F%28x%29%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%80%BC%E5%B0%8F%E4%BA%8E1%2B%5Bm%2F%28n%2B1%29%5D)
一个幂指函数,猜想其为减函数,但导数法行不,不知其他方法给定如下幂指函数F(x)={[4x^2+(4m+4n-1)x-(5m+2n-1)] / [(4m+4n+1)x-(5m+2n-1)]} ^(m/x)其中m,n均为任意正整数常量,x>2,求证F(x)的最大值小于1+[m/(n+1)]
一个幂指函数,猜想其为减函数,但导数法行不,不知其他方法
给定如下幂指函数
F(x)={[4x^2+(4m+4n-1)x-(5m+2n-1)] / [(4m+4n+1)x-(5m+2n-1)]} ^(m/x)
其中m,n均为任意正整数常量,x>2,
求证F(x)的最大值小于1+[m/(n+1)]
我已在Excel里试了多组m,n,发现F为减函数,但用导数会有很大计算量,末了还得解一个含ln的超越方程,实在没辙了!下星期就要搞定它,有人能帮忙证了此题一定重谢!
请教“孤独安河”,你用到了一个命题,即“若f(x)为正值函数,则函数 F(x)=[1+f(x)]^(1/x) 单调递减”,
请问如何证明?
这个命题可能几乎正确,但当f(x)=x^x时就为假了,此题的情形不是极端情形,那么它是否属于命题正确的范畴?
注意：此题难度在于F不是初等复合函数,所以“同增异减”的规则没法应用,一般来讲只能求导解决,但此题用求导明显很笨了.
Lunch 1964的思路不错,你那一步用到了伯努利不等式,但它的适用范围是当指数m/x
一个幂指函数,猜想其为减函数,但导数法行不,不知其他方法给定如下幂指函数F(x)={[4x^2+(4m+4n-1)x-(5m+2n-1)] / [(4m+4n+1)x-(5m+2n-1)]} ^(m/x)其中m,n均为任意正整数常量,x>2,求证F(x)的最大值小于1+[m/(n+1)]
∵Z=[4x^2+(4m+4n-1)x-(5m+2n-1)] / [(4m+4n+1)x-(5m+2n-1)]=1+(4x^2-2x)/ [(4m+4n+1)x-(5m+2n-1)]＞1
∴F(x)={[4x^2+(4m+4n-1)x-(5m+2n-1)] / [(4m+4n+1)x-(5m+2n-1)]} ^(m/x)＜1+(m/x)×
(4x^2-2x)/ [(4m+4n+1)x-(5m+2n-1)]=1+(4mx-2m)/ [(4m+4n+1)x-(5m+2n-1)
又∵A=(4mx-2m)/ [(4m+4n+1)x-(5m+2n-1)是减函数(可用导数证)
∴F(x)＜1+(4m×2-2m)/ [(4m+4n+1)×2-(5m+2n-1)=1+6m/(3m+6n+3)＜1+[m/(n+1)]
不好意思,这部分F(x)={[4x^2+(4m+4n-1)x-(5m+2n-1)] / [(4m+4n+1)x-(5m+2n-1)]} ^(m/x)＜1+(m/x)×(4x^2-2x)/ [(4m+4n+1)x-(5m+2n-1)]不太会,是不是应该用导数证?
根据楼主的提示,证{1+[2/(m+2n+1)]}^m < 1+[m/(n+1)]
设:y={1+[2/(m+2n+1)]}^m ,y'=m{1+[2/(m+2n+1)]}^(m-1)×(-2)+{1+[2/(m+2n+1)]}^m×ln{1+[2/(m+2n+1)]}={1+[2/(m+2n+1)]}^(m-1)×【{1+[2/(m+2n+1]}ln{1+[2/(m+2n+1)]}-2m】
当m、n∈N+时,y‘＜0,y为减函数,当m=1时,y最大
∴y≤1+2/（1+2n+1）=1+[1/(n+1)]＜1+[m/(n+1)]