作业帮线性代数,证明矩阵的合同关系.若A m×n为实矩阵,且r（A）=n,证明A‘A合同于E（此处A‘为A的转置矩阵）补充：是否可逆矩阵就合同于单位阵呢?是否合同于对角阵，就合同于单位阵？
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 23:51:44
线性代数,证明矩阵的合同关系.若A m×n为实矩阵,且r（A）=n,证明A‘A合同于E（此处A‘为A的转置矩阵）补充：是否可逆矩阵就合同于单位阵呢?是否合同于对角阵，就合同于单位阵？
线性代数,证明矩阵的合同关系.
若A m×n为实矩阵,且r（A）=n,证明A‘A合同于E（此处A‘为A的转置矩阵）
补充：是否可逆矩阵就合同于单位阵呢?
是否合同于对角阵，就合同于单位阵？
线性代数,证明矩阵的合同关系.若A m×n为实矩阵,且r（A）=n,证明A‘A合同于E（此处A‘为A的转置矩阵）补充：是否可逆矩阵就合同于单位阵呢?是否合同于对角阵，就合同于单位阵？
不是,是正定,正定合同与E.
你可以选择这样证。先证他是实对称矩阵，然后，用正定矩阵的定义去证他是正定。也就是xt(AtA)x恒大于等于0，而A的秩等于n表明他大于0，所以ata是正定矩阵。然后由正定矩阵的性质，得出他合同单位矩阵
合同就不同证了啦。
A'A=A'EA，证毕。
正定，请见 goaha 先生的证明。
合同于对角阵，在复数系内研究，肯定就合同于单位阵啦，不过由于涉及到负数开平方的问题，在实数范围就不一定了。
下面为方便故，用W代表对角阵,对它的各元素开方得到的对角阵记成V，即W=V*V或记成VV，另外注意V=V'，此处撇号'表示转置。
AWA'= AVV'A'=AVEV'A...
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合同就不同证了啦。
A'A=A'EA，证毕。
正定，请见 goaha 先生的证明。
合同于对角阵，在复数系内研究，肯定就合同于单位阵啦，不过由于涉及到负数开平方的问题，在实数范围就不一定了。
下面为方便故，用W代表对角阵,对它的各元素开方得到的对角阵记成V，即W=V*V或记成VV，另外注意V=V'，此处撇号'表示转置。
AWA'= AVV'A'=AVEV'A
故在复数系内研究的话，对角阵W合同于单位阵E.
另外，合同关系是一种等价关系，具有传递性。
合同于对角阵，对角阵上面讲了合同于单位阵，一传递，就得了。
要不用传递性，类似上面弄一下也ok了。
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