作业帮三角形三条垂线为什么会交于一点
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 18:58:15
三角形三条垂线为什么会交于一点
三角形三条垂线为什么会交于一点
三角形三条垂线为什么会交于一点
三角形ABC中,AC、AB上的高为BE和CF.
显然三角形ABE相似于三角形ACF,故有AB/AC=AE/AF,即AF*AB=AE*AC (1)
过A作三角形ABC的高AD,分别交BE,CF,AB于O1,O2,D.
由三角形AFO2相似于三角形ADB得:AF/AO2=AD/AB,即AF*AB=AO2*AD (2)
由三角形AEO1相似于三角形ADC得:AE/AO1=AD/AC,即AE*AC=AO1*AD (3)
根据等式(1)(2)(3)有
AO1*AD＝AO2*AD,
所以AO1=AO2,O1、O2重合,记重合点为O点,则O点均在高AD,BE,CF上,所以三角形ABC得三条高交于一点O.
相似三角形法：
三角形ABC中,AC、AB上的高为BE和CF。
显然三角形ABE相似于三角形ACF，故有AB/AC=AE/AF,即AF*AB=AE*AC (1)
过A作三角形ABC的高AD，分别交BE，CF，AB于O1，O2，D。
由三角形AFO2相似于三角形ADB得:AF/AO2=AD/AB,即AF*AB=AO2*AD (2)
由三角形AEO1相似...
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相似三角形法：
三角形ABC中,AC、AB上的高为BE和CF。
显然三角形ABE相似于三角形ACF，故有AB/AC=AE/AF,即AF*AB=AE*AC (1)
过A作三角形ABC的高AD，分别交BE，CF，AB于O1，O2，D。
由三角形AFO2相似于三角形ADB得:AF/AO2=AD/AB,即AF*AB=AO2*AD (2)
由三角形AEO1相似于三角形ADC得:AE/AO1=AD/AC,即AE*AC=AO1*AD (3)
根据等式(1)(2)(3)有
AO1*AD＝AO2*AD,
所以AO1=AO2,O1、O2重合，记重合点为O点，则O点均在高AD，BE，CF上，所以三角形ABC得三条高交于一点O。
四点共圆法：
三角形ABC中，AC、AB上的高BE和CF交于O点，连接并延长AO交BC于D，只需证AD为高即可。
因为角BEC，角CFB均为直角，所以B、C、F、E四点共圆，记为圆BCFE，
由切割线定理知:AF*AB = AE*AC (4)
分别记直角三角形BOF,COE的外接圆为圆BOF，圆COE，
下面只需证明角BDA＝90度即可，
反证：若角BDA小于90度，则角CDA大于90度，因BO，CO分别为圆BOF，圆COE的直径，所以点D在圆BOF外，在圆COE内，由切割线定理推论
AO*AD>AF*AB （点D在圆BOF外）
AO*AD
同理可证角BDA也不大于90度。
故角BDA＝90度。即AD为高。
至于为什么嘛，证明的结果就是这样。它们不平行，当然得有一个交点。事实胜于雄辩，是就是了。
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垂心定理
应为：三角形三条边的垂直平分线为什么会交于一点 。
首先：说明两边的垂直平分线交于一点。（两直线不平行则相交）过这点作第三边上的垂线。
其次：利用线段的中垂线到线段的两端距离相等，说明这点在第三遍的中垂线上。（等腰三角形底边上的高、顶角的平分线、底边的垂直平分线在同一条直线上。
自己证明，提高证明能力，如有问题可以联系。...
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应为：三角形三条边的垂直平分线为什么会交于一点 。
首先：说明两边的垂直平分线交于一点。（两直线不平行则相交）过这点作第三边上的垂线。
其次：利用线段的中垂线到线段的两端距离相等，说明这点在第三遍的中垂线上。（等腰三角形底边上的高、顶角的平分线、底边的垂直平分线在同一条直线上。
自己证明，提高证明能力，如有问题可以联系。
收起
三个互不平行的直线且在同一面上一定交于一点。