证明：矩阵A与A的转置A'的乘积的秩等于A的秩,即r(AA')=r(A).一个线性代数问题。

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/01 05:22:52

证明：矩阵A与A的转置A'的乘积的秩等于A的秩,即r(AA')=r(A).一个线性代数问题。
证明：矩阵A与A的转置A'的乘积的秩等于A的秩,即r(AA')=r(A).
一个线性代数问题。

证明：矩阵A与A的转置A'的乘积的秩等于A的秩,即r(AA')=r(A).一个线性代数问题。
设 A是 m×n 的矩阵.
可以通过证明 Ax=0 和A'Ax=0 两个n元齐次方程同解证得 r(A'A)=r(A)
1、Ax=0 肯定是 A'Ax=0 的解,好理解.
2、A'Ax=0 → x'A'Ax=0 → (Ax)' Ax=0 →Ax=0
故两个方程是同解的.
同理可得 r(AA')=r(A')
另外有 r(A)=r(A')
所以综上 r(A)=r(A')=r(AA')=r(A'A)

这个样子可能可以：
A=PEQ 其中E是A的标准型,P,Q为可逆矩阵
那么A'=Q'E'P';
所以AA'=PEQQ'E'P';
设QQ'=(X Y)
(Z W)
其中X为r*r的矩阵且其轶也为r，因为它是可逆矩阵的一个分块。
所以上式可以化简为：
AA'=P(X O)Q
(0 0)
而PQ都是可...

全部展开

这个样子可能可以：
A=PEQ 其中E是A的标准型,P,Q为可逆矩阵
那么A'=Q'E'P';
所以AA'=PEQQ'E'P';
设QQ'=(X Y)
(Z W)
其中X为r*r的矩阵且其轶也为r，因为它是可逆矩阵的一个分块。
所以上式可以化简为：
AA'=P(X O)Q
(0 0)
而PQ都是可逆的，所以
r(AA')=r(X O)
(0 0)
所以它就等于r。
可能看起来比较不爽，可是我也打不出来比较好的效果，凑和看吧。
也可能有比较简单的方法。就这样吧。

收起

king__dom的做法很棒

老师好,如何证明矩阵A与其转置的乘积的特征值等于矩阵A的转置与矩阵A的乘积的特征值. 证明：矩阵A与A的转置A'的乘积的秩等于A的秩,即r(AA')=r(A).一个线性代数问题。证明：矩阵A与A的转置A'的乘积的秩等于A的秩,即r(AA')=r(A). 如何证明矩阵A与矩阵A的转置的乘积为0；和矩阵A为零矩阵,互为充要条件为什么单位矩阵与任何矩阵A的乘积还是等于矩阵A? 刘老师,一个对称矩阵A的转置与A乘积的迹是否等于A中各个数平方和如何用定义证明A^TA的特征值一定大于或等于零?A^TA：矩阵的转置与矩阵的乘积为什么,当秩（A）=n-1时,A的伴随矩阵与A的乘积等于｜A｜E 证明：矩阵A的共轭转置矩阵与A的秩相同怎么证明矩阵A与矩阵A的转置矩阵的特征值相同线代题：A的伴随矩阵等于A的转置矩阵,如何证明A是可逆矩阵? 矩阵与可逆矩阵的行列式的乘积是不是等于1 即｜A∧－1｜ |A|＝1? 急问线代:证明若A是n阶方阵,n是奇数,且A与A的逆矩阵乘积等于E(单位矩阵),│A│=1,则│E-A│=0急问设n阶方阵A满足A和A的转置行列式乘积等于E,|A|=-1,判断矩阵A+E是否可逆?并证明你的结论矩阵A与A的转置乘积为定值,求A 的转置问题,原题见照片, 设A是实矩阵,证明：A转置乘A与A乘A转置的秩相同. 矩阵A与矩阵B乘积的秩不大于A的秩和B的秩设A是m*n矩阵,证明A的秩等于其转置矩阵的秩,即r（A）=r（A'）