如何知道两对数式是互为相反数两对数式是互为倒数?

如何知道两对数式是互为相反数两对数式是互为倒数?
如何知道两对数式是互为相反数
两对数式是互为倒数?

如何知道两对数式是互为相反数两对数式是互为倒数?
（1）互为相反数是logaN+logaM=0,于是有loga(MN)=0,得MN=1只要真数互为倒数的话,对数值就互为相反数
（2)由换底公式可以得到logaN=lgN/lga
=1/logNa,可以得到如果两式互为倒数的话,说明,真数和底数交换位置即可
及供参考……

lg(1/a)=-lga
lga+lg(10/a)=lg10=1

logaB*lognA=1
则这两个对数互为倒数

一、指数与对数运算：
（一）知识归纳：
1．根式的概念：
①定义：若一个数的 次方等于 ，则这个数称 的 次方根.即，若
，则 称 的 次方根 ，
1）当 为奇数时， 次方根记作 ；
2）当 为偶数时，负数 没有 次方根，而正数 有两个 次方根且互为相反数，记作
.
②性质：1） ； 2）当 为奇数时， ；
3）当 ...

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一、指数与对数运算：
（一）知识归纳：
1．根式的概念：
①定义：若一个数的 次方等于 ，则这个数称 的 次方根.即，若
，则 称 的 次方根 ，
1）当 为奇数时， 次方根记作 ；
2）当 为偶数时，负数 没有 次方根，而正数 有两个 次方根且互为相反数，记作
.
②性质：1） ； 2）当 为奇数时， ；
3）当 为偶数时，
2．幂的有关概念：
①规定：1） N*， 2） ，
n个
3） Q，4） 、 N* 且
②性质：1） 、 Q），
2） 、 Q），
3） Q）
（注）上述性质对r、 R均适用.
3．对数的概念：
①定义：如果 的b次幂等于N，就是 ，那么数 称以 为底N
的对数，记作 其中 称对数的底，N称真数.
1）以10为底的对数称常用对数， 记作 ，
2）以无理数 为底的对数称自然对数， 记作
②基本性质：
1）真数N为正数（负数和零无对数）， 2） ，
3） ， 4）对数恒等式：
③运算性质：如果 则
1） ；
2） ；
3） R）.
④换底公式：
1） ， 2）
（二）学习要点：
1． （其中 ）是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同应化为同底.
2．要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经验.
【例1】解答下述问题：
（1）计算：

[解析]原式=

（2）计算 .
[解析]分子= ；
分母= ；
原式= .
（3）化简：
[解析]原式=
.
（4）已知： 值.
[解析]
.
[评析]这是一组很基本的指数、对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧.
【例2】解答下述问题：
（1）已知 ，
求证：
[解析] ，

=
（2）若 ，求 的值.
[解析]去分母得
，
、 是二次方程 的两实根，且 ，解
得 ，

[评析]例2是更综合一些的指数、对数运算问题，这种问题更接近考试题的形式，应多从这种练习中积累经验.
二、指数函数与对数函数
（一）学习要点：
1．指数函数：
①定义：函数 称指数函数，
1）函数的定义域为R， 2）函数的值域为 ，
3）当 时函数为减函数，当 时函数为增函数.
②函数图像：
1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限，
2）指数函数都以 轴为渐近线（当 时，图象向左无限接近 轴，当 时，图象向右无限接近 轴），
3）对于相同的 ，函数 的图象关于 轴对称.
③函数值的变化特征：
2．对数函数：
①定义：函数 称对数函数，
1）函数的定义域为 ， 2）函数的值域为R，
3）当 时函数为减函数，当 时函数为增函数，
4）对数函数 与指数函数 互为反函数.
②
1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限，
2）对数函数都以 轴为渐近线（当 时，图象向上无限接近 轴；当 时，图象向下无限接近 轴）.
4）对于相同的 ，函数 的图象关于 轴对称.
③函数值的变化特征：
（二）学习要点：
1．解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识.
2．指数、对数函数值的变化特点（上面知识结构表中的12个小点）是解决含指数、对数式的问题时使用频繁的关键知识，要达到滚瓜烂熟，运用自如的水平，在使用时常常还要结合指数、对数的特殊值共同分析.
3．含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题的最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类.
4．在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现，如与其它函数（特别是二次函数）形成的复合函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要努力提高综合能力.
【例1】已知 是奇函数 （其中 ，
（1）求 的值；
（2）讨论 的单调性；
（3）求 的反函数 ；
（4）当 定义域区间为 时， 的值域为 ，求 的值.
[解析]（1）
对定义域内的任意 恒成立，
，
当 不是奇函数， ，
（2） 定义域为 ，
求导得 ，
①当 时， 在 上都是减函数；
②当 时， 上都是增函数；
（另解）设 ，任取 ，
，
，结论同上；
（3） ，

（4） 上为减函数，
命题等价于 ，即 ，
解得 .
[评析]例1的各个小题概括了指数、对数函数的各种常见的基本问题，熟练掌握这些基本问题的解答程序及方法是很重要的能力训练，要认真总结经验.
【例2】对于函数 ，解答下述问题：
（1）若函数的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）若函数的值域为R，求实数a的取值范围；
（3）若函数在 内有意义，求实数a的取值范围；
（4）若函数的定义域为 ，求实数a的值；
（5）若函数的值域为 ，求实数a的值；
（6）若函数在 内为增函数，求实数a的取值范围.
[解答]记 ，
（1） 恒成立， ，
的取值范围是 ；
（2）这是一个较难理解的问题。从“ 的值域为R”，这点思考，“ 的值域
为R”等价于“ 能取遍 的一切值”，或理解为“ 的值域包含
了区间 ”
的值域为
∴命题等价于 ，
∴a的取值范围是 ；
（3）应注意“在 内有意义”与定义域的概念是不同的，
命题等价于“ 恒成立”，应按 的对称轴 分类，
，
的取值范围是 ；
（4）由定义域的概念知，命题等价于
不等式 的解集为 ，
是方程 的两根，
即a的值为2；
（5）由对数函数性质易知： 的值域为 ，由此学生很容易得 ，但这是不正确的.因为“ ”与“ 的值域为 ”并不等价，后者要求 能取遍 的一切值（而且不能多取）.
∵ 的值域是 ，
∴命题等价于 ；
即a的值为±1；
（6）命题等价于： ，
即 ，得a的取值范围是 .
[评析]学习函数知识及解决函数问题，首先是要非常准确理解与掌握函数中的每个概念，许多函数的概念都有很深刻的内涵，解决问题时要仔细揣摩各种概念之间的联系与不同，才能作出准确的解答，并要在学习中不断积累经验.
【例3】解答下述问题：
（Ⅰ）设集合 ，
若当 时，函数 的最大值为2，
求实数a的值.
[解析]
而 ，
令 ，
，其对称轴 ，
①当 ，即 ，适合；
②当 ，适合；
综上， .
（Ⅱ）若函数 在区间[0，2]上的最大值为9，求实数a的值.
[解析] ，
令 ，

∴抛物线 的对称轴为 ，
①当 ，不合；
②当 时， ，适合；
综上，
（Ⅲ）设关于 的方程 R），
（1）若方程有实数解，求实数b的取值范围；
（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解.
[解析]（1）原方程为 ，
，
时方程有实数解；
（2）①当 时， ，∴方程有唯一解 ；
②当 时， .
的解为 ；
令
的解为 ；
综合①、②，得
1）当 时原方程有两 ；
2）当 时，原方程有唯一解 ；
3）当 时，原方程无解.
[评析]例3是一组具有一些综合性的指数、对数问题，问题的解答涉及指数、对数函数，二次函数、参数讨论、方程讨论等各种基本能力，这也是指数、对数问题的特点，题型非常广泛，应通过解题学习不断积累经验.
《训练题》
一、选择题：
1．若 N*，则 （ ）
A．2 B． C． D．
2．若 ，则 （ ）
A．4 B．16 C．256 D．81
3．当 时， 的大小关系是 （ ）
A． B．
C． D．
4．若 ，则a的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．
5．函数 的定义域为[1，2]，则函数 的定义域为 （ ）
A．[0，1] B．[1，2] C．[2，4] D．[4，16]
6．若函数 上单调递减，则实数a的取值范围是 （ ）
A．[9，12] B．[4，12] C．[4，27] D．[9，27]
二、填空题：
7．计算 .
8．函数 是减函数，则实数a的取值范围是 .
9．若 ，则实数k的取值范围是 .
10．已知函数 的值域为R，则实数a的取值范围
是 .
三、解答题：
11．已知 的值.
12．已知函数 ，
（1）求 的定义域；
（2）此函数的图象上是否存在两点，过这两点的直线平行于x轴？
（3）当a、b满足什么条件时 恰在 取正值.
13．求函数 的值域.
14．在函数 的图象上有A、B、C
三点，它们的横坐标分别为 、 、 ，若
△ABC的面积为S，求函数 的值域.
15．已知函数 ，
（1）讨论 的奇偶性与单调性；
（2）若不等式 的解集为 的值；
（3）求 的反函数 ；
（4）若 ，解关于 的不等式 R）.
《作案与解析》
一、选择题：
1.A 2.C 3.B 4.D 5.D 6.A
二、填空题
7．10 8． 9． 10．
11． ，
，

，
而 ，
.
12．（1） ，
又 ，故函数的定义域是 .
（2）问题的结论取决于 的单调性，考察这个函数的单调性有三种方法：
①求导，②运用单调性定义，③复合分析，但以方法①最好.
（解一）求导得： ，
， ，
在定义域内单调递增，故不存在所述两点；
（解二）任取 ，则 ，
，
即 在定义域内单调递增，故不存在所述两点；
（3） 在 单调递增，∴命题等价于： ，

13．
，
（1）当 ，即 时， ；
（2）当 ，即 时， 上单调递减，
， 值域为 .
14．设A、B、C在 轴上的射影分别为A1、B2、C1，


，
令 ，
，
的值域为
15．（1） 定义域为 为奇函数；
，求导得 ，
①当 时， 在定义域内为增函数；
②当 时， 在定义域内为减函数；
（2）①当 时，∵ 在定义域内为增函数且为奇函数，
；
②当 在定义域内为减函数且为奇函数，
；
（3）
R）；
（4） ，
；①当 时，不等式解集为 R；
②当 时，得 ，
不等式的解集为 ；
③当

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