作业帮质数研究了有什么作用?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 00:11:15
质数研究了有什么作用?
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质数百科名片
质数又称素数.指在一个大于1的自然数中,除了1和此整数自身外,没法被其他自然数整除的数.换句话说,只有两个正因数（1和自己）的自然数即为素数.比1大但不是素数的数称为合数.1和0既非素数也非合数.素数在数论中有着很重要的地位.
目录
简介
入门
算术基本定理
素数分布问题
质数的构造
素数各类猜想
哥德巴赫猜想历史进展
质数的几种英文解释
筛法
孪生素数普遍公式
C语言打印100以内的质数
JAVA质数升成简介
入门
算术基本定理
素数分布问题
质数的构造
素数各类猜想
哥德巴赫猜想历史进展
质数的几种英文解释
筛法孪生素数普遍公式C语言打印100以内的质数JAVA质数升成展开 编辑本段简介
就是在所有比1大的整数中,除了1和它本身以外,不再有别的约数,这种整数叫做质数,质数又叫做素数.这终规只是文字上的解释而已.能不能有一个代数式,规定用字母表示的那个数为规定的任何值时,所代入的代数式的值都是质数呢? 质数的分布是没有规律的,往往让人莫名其妙.如：101、401、601、701都是质数,但上下面的301（7*43）和901（17*53）却是合数. 有人做过这样的验算：1^2+1+41=43,2^2+2+41=47,3^2+3+41=53……于是就可以有这样一个公式：设一正数为n,则n^2+n+41的值一定是一个质数.这个式子一直到n=39时,都是成立的.但n=40时,其式子就不成立了,因为40^2+40+41=1681=41*41. 被称为“17世纪最伟大的法国数学家”费尔马,也研究过质数的性质.他发现,设Fn=2^(2^n),则当n分别等于0、1、2、3、4时,Fn分别给出3、5、17、257、65537,都是质数,由于F5太大（F5=4292967297）,他没有再往下检测就直接猜测：对于一切自然数,Fn都是质数.但是,就是在F5上出了问题!费尔马死后67年,25岁的瑞士数学家欧拉证明：F5=4292967297=641*6700417,并非质数,而是合数. 更加有趣的是,以后的Fn值,数学家再也没有找到哪个Fn值是质数,全部都是合数.目前由于平方开得较大,因而能够证明的也很少.现在数学家们取得Fn的最大值为：n=1495.这可是个超级天文数字,其位数多达10^10584位,当然它尽管非常之大,但也不是个质数.质数和费尔马开了个大玩笑! 17世纪还有位法国数学家叫梅森,他曾经做过一个猜想：2^p-1代数式,当p是质数时,2^p-1是质数.他验算出了：当p=2、3、5、7、17、19时,所得代数式的值都是质数,后来,欧拉证明p=31时,2^p-1是质数. p＝2,3,5,7时,Mp都是素数,但M11＝2047＝23×89不是素数. 还剩下p=67、127、257三个梅森数,由于太大,长期没有人去验证.梅森去世250年后,美国数学家科勒证明,2^67-1=193707721*761838257287,是一个合数.这是第九个梅森数.20世纪,人们先后证明：第10个梅森数是质数,第11个梅森数是合数.质数排列得这样杂乱无章,也给人们寻找质数规律造成了困难. 还有一种质数叫费马数.形式是:Fn=2^(2^n)+1 是质数的猜想. 如F1=2^(2^1)+1=5 F2=2^(2^2)+1=17 F3=2^(2^3)+1=257 F4=2^(2^4)+1=65537 F5=2^(2^5)+1=4294967297 前4个是质数,因为第5个数实在太大了,费马认为是实数,并提出(费马没给出证明) 后来欧拉算出F5=641*6700417. 目前只有n=0,1,2,3,4,Fn才是质数. 现在,数学家找到的最大的梅森数是一个有9808357位的数：2^32582657-1.数学虽然可以找到很大的质数,但质数的规律还是无法循通.
编辑本段入门
最小的素数是2, 他也是唯一的偶素数. 最前面的素数依次排列为：2,3,5,7,11,13,17,. 不是质数且大于1的正整数称为合数. 质数表上的质数请见素数表. 依据定义得公式： 设A=n2+b=(n-x)(n+y),除n-x=1以外无正整数.故有： y=（b+nx)/(n-x) (x
算术基本定理： 任何大于1的正整数n可以唯一表示成有限个素数的乘积: n=p_1p_2...p_s, 这里p_1≤p_2 ≤...≤p_s是素数. 这一表达式也称为n的标准分解式. 算术基本定理是初等数论中最基本的定理.由此定理, 我们可以重新定义两个整数的最大公因子和最小公倍数等等概念. 1不能称作素数,是因为要确保算术基本定理所要求的唯一性成立.这一解释可参看华罗庚《数论导引》
编辑本段素数分布问题
素数分布问题,就是指素数在正整数集或其特殊子集中的分布情况,比如素数个数问题等等.这方面的结果如下; （1）欧几里得以反证法证明了素数个数无限；欧拉利用解析方法也证明了此结论. （2）高斯提出著名的素数定理（当时是猜想,后被证明）： 设π(x)是不超过x的素数个数, 那么极限(x趋向于无穷) lim π(x)/(x/Ln x)=1 更好的逼近公式有高斯提出的li(x)函数, 即lim π(x)/lix=1. 其中 相关公式
（3） 狄利克雷 证明了任何等差数列： a, a+d,a+2d,...a+nd,... (这里a,d互质)中都包含无限个素数. （4） 兰伯特猜想（已被证明）： 在n和2n之间必定存在一个素数, 这里n是大于1的正整数. 十亿以内素数分布及概率 "10" |4 |40% “100” |25 |25% “1000” |168 |16.8% “10000” |1229 |12.29% “100000” |9592 |9.592% “1000000” |78498 |7.8498% “2000000” |148933 |7.44665% “10000000” |664579 |6.64579% “100000000” |5761455 |5.761455% “200000000” |11078937 |5.5394685% “300000000” |16252325 |5.41744167% “400000000” |21336336 |5.334084% “500000000” |26355877 |5.2711754% “600000000” |31324713 |5.2207855 % “700000000” |36252941 |5.17899157% “800000000” |41146189 |5.143273625% “900000000” |46009225 |5.1121361% “1000000000” |50847544 |5.0847544% 可以看出,越往后质数比例愈小,但总数却是增多, 可以看出素数的个数是无限的,这一结论已经被古希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》中用反证法证明.
编辑本段质数的构造
如何构造素数,即寻找一个可以只产生素数的公式,是古典数论的一个重要课题.许多数学家曾经尝试过此问题.以下列举一些经典的例子. （1）费马定义了费马数F_n=2^(2^n)+1.他猜测费马数都是素数. 但是欧拉证明了641能够整除F_5,目前为止,人们还不能证明是否有无限个费马数是素数. 有猜测认为, 几乎所有费马数都是合数. （2）高故证明, 一个正n边形可以用尺规作图得到的充要条件是： n的所有奇素因子都是费马素数.特别地, 正十七边形可以用尺规做出. （3）梅森定义了M_p=2^p-1. 他猜测当p是素数时, M_p也是素数,称为梅森素数. 但这一结论也被否定了. 一个重要问题是： 是否有无限个梅森素数?此猜想至今未被证明. （4）一个数n是偶完全数当且仅当n可以写为 n=2^{p-1}M_p, 这里p和梅森数M_p都是素数.一个重要问题是：是否存在奇完全数? （5） 欧拉和费马等人构造了一些多项式,在一定范围内都取值素数, 比如： f(n)=n^2-n+41, 在n=1,2,...,40时都是素数.一个有趣问题是： 存在无穷个素数可以写为n^2+1的形式. （6）只产生素数的公式很容易构造,但它们是没有理论意义的.比如令B_n=((n-1)!+1)/n, 用{x}表示x小数部分, [x]表示x的整数部分.于是 函数f(n)=n+(n-2)[{-B_n}]只产生素数.这是利用了著名的威尔逊理, 即 "n是素数当且仅当 (n-1)!+1能被n整除" （7）传统筛法是利用一条定理：“n不能够被不大于根号n的任何素数整除,则n是一个素数”《代数学辞典》上海教育出版社1985年259页.参见百度素数普遍公式 可以用公式表示,参见下面筛法.
编辑本段素数各类猜想
上面我们已经提及了几类猜想, 如梅森素数无限的猜想, 费马素数有限的猜想等等.以下列举其他一些重要猜想. （1）黎曼猜想. 黎曼通过研究发现, 素数分布的绝大部分猜想都取决于黎曼zeta函数ζ（s）的零点位置.他猜测那些非平凡零点都落在复平面中实部为1/2的直线上, 这就是被誉为千禧年世界七大数学难题之一的黎曼猜想, 是解析数论的重要课题. （2）孪生素数猜想. 如果p和p+2都是素数, 那么就称他们为孪生素数.一个重要的问题就是：是否存在无限多对孪生素数?这一问题至今没有突破性进展. （3）哥德巴赫猜想 （Goldbach Conjecture) （a）所有的不小于6的偶数,都可以表示为两个奇素数之和 (一般用代号“1+1”表示). （b）每个不小于9的奇数都可以表示为三个奇素数之和. 问题的第二部分,利用解析数论中的圆法估计,已被证明. 真正困难的是第一部分.
编辑本段哥德巴赫猜想历史进展
哥德巴赫猜想是德国数学家哥德巴赫（C．Goldbach,1690-1764）于1742年6月7日在给大数学家欧拉的信中提出的,所以被称作哥德巴赫猜想.同年6月30日,欧拉在回信中认为这个猜想可能是真的,但他无法证明.从此,这道数学难题引起了几乎所有数学家的注意.哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”. 18、19世纪,所有的数论专家对这个猜想的证明都没有作出实质性的推进,直到20世纪才有所突破.直接证明哥德巴赫猜想不行,人们采取了“迂回战术”,就是先考虑把偶数表为两数之和,而每一个数又是若干素数之积,被称为“殆素”意思是很像素数.如果把命题"每一个大偶数可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a＋b",那么哥氏猜想就是要证明"1＋1"成立. “充分大的偶数”陈景润是指10的5000000次方,即在10的后面加上500000个“0”. 哥德巴赫猜想至今没有任何实质性进展. 1920年,挪威的布朗证明了‘“9 + 9”. 1924年,德国的拉特马赫证明了“7 + 7”. 1932年,英国的埃斯特曼证明了“6 + 6”. 1937年,意大利的蕾西先后证明了“5 + 7”, “4 + 9”, “3 + 15”和“2 + 366”. 1938年,苏联的布赫夕太勃证明了“5 + 5”. 1940年,苏联的布赫夕太勃证明了“4 + 4”. 1948年,匈牙利的瑞尼证明了“1 + c”,其中c是一很大的自然数. 1956年,中国的王元证明了“3 + 4”. 1957年,中国的王元先后证明了 “3 + 3”和“2 + 3”. 1962年,中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了“1 + 5”, 中国的王元证明了“1 + 4”. 1965年,苏联的布赫 夕太勃和小维诺格拉多夫,及 意大利的朋比利证明了“1 + 3 ”. 1966年,中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”.
编辑本段质数的几种英文解释
mathematics, a prime number (or prime) is a natural number greater than one whose only positive divisors are one and itself. Or for short: A prime number is a natural number with exactly two natural divisors. A natural number that is greater than one and is not a prime is called a composite number. The numbers zero and one are neither prime nor composite. The property of being a prime is called primality. Prime numbers are of fundamental importance in number theory. [From Wikipedia] 2.A whole number not divisible without a remainder by any whole number other than itself and one.（汉译：素数,质数：只能被其本身和一整除而没有余数的整数）[From American Heritage Dictionary] 3.any integer other than 0 or ± 1 that is not divisible without remainder by any other integers except ± 1 and ± the integer itself. [From The Merriam-Webster's Collegiate® Dictionary] 4.a number that can be divided only by itself and the number one. For example, three and seven are prime numbers.[From Longman Dictionary of Contemporary English]
编辑本段筛法
筛法,是求不超过自然数N（N＞1）的所有质数的一种方法.据说是古希腊的埃（Eratosthenes,约公元前274～194年）发明的,又称埃拉托斯特尼筛子. 具体做法是：先把N个自然数按次序排列起来.1不是质数,也不是合数,要划去.第二个数2是质数留下来,而把2后面所有能被2整除的数都划去.2后面第一个没划去的数是3,把3留下,再把3后面所有能被3整除的数都划去.3后面第一个没划去的数是5,把5留下,再把5后面所有能被5整除的数都划去.这样一直做下去,就会把不超过N的全部合数都筛掉,留下的就是不超过N的全部质数.因为希腊人是把数写在涂腊的板上,每要划去一个数,就在上面记以小点,寻求质数的工作完毕后,这许多小点就像一个筛子,所以就把埃拉托斯特尼的方法叫做“埃拉托斯特尼筛”,简称“筛法”.（另一种解释是当时的数写在纸草上,每要划去一个数,就把这个数挖去,寻求质数的工作完毕后,这许多小洞就像一个筛子.）工作完毕后,这许多小点就像一个筛子,所以就把埃拉托斯特尼的方法叫做“埃拉托斯特尼筛”,简称“筛法”.（另一种解释是当时的数写在纸草上,每要划去一个数,就把这个数挖去,寻求质数的工作完毕后,这许多小洞就像一个筛子.） 筛法与公式的关系： 素数普遍公式： 公元前250年同样是古希腊的数学家埃拉托塞尼提出一种筛法： （一）“要得到不大于某个自然数N的所有素数,只要在2---N中将不大于√N的素数的倍数全部划去即可”. （二）将上面的内容等价转换：“如果N是合数,则它有一个因子d满足1
有定理：若自然数Q与Q+2不能被不大于根号(Q+2)的任何素数整除,则Q与Q+2是一对素数,称为孪生素数.这句话可以用公式表达： Q=p1m1+b1=p2m2+b2=.=pkmk+bk .(1) 例如Q=41=2m+1=3m+2=5m+1. 其中p1,p2,.,pk 表示顺序素数2,3,5,7,.b≠0,和b≠pi-2. 若Q〈P(K+1)的平方减2,[注：p后面的1,2,3,.,k,k+1是脚标,凡是字母后面的 数字和字母i,k 都是脚标] ,则Q与Q+2是一对孪生素数. 即最小剩余不能是0和pi-2.,例如Q不能是2m,3m+1,5m+3,7m+5,.,pimi-2.否则Q+2是合数. （1)式可以用同余式组表示： Q≡b1(modp1),Q≡b2(modp2), .,Q≡bk(modpk). (2) 例如,41≡1（mod2),41≡2(mod3),41≡1(mod5).41<41+2）的平方减2.,所以41与41+2是一对孪生素数. 下面平方用“*”表示,即：㎡=m*.. 由于（2）式的模p1,p2,.,pk 两两互素,根据孙子定理（中国剩余定理) 相关题目
得知,对于给定的b值,（2）式在p1p2...pk范围内有唯一解. 仅从（1）式看不出什么素数的规律,一旦转入同余式后,整个线路就清晰起来,因为在孙子定理的照耀下,我们知道b≠0,即是在p1p2p3...pk范围内筛去 p1m+0,p2m+0,p3m+0,...,pkm+0形的数,筛k次.b≠pi-2即是从p1p2p3...pk范围内筛去p1m-2,p2m-2,p3m-2,...,pkm-2形的数,筛k次.共2k次. 得知（1）（2）式在p1p2...pk范围内有： (2-1)×(3-2)×(5-2)×.×(pk-2) .（3） 个解.
编辑本段C语言打印100以内的质数
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 #include
n以内的质数（n>=2） public class PrimeNumber { public void sum(int max) { for (int i = 2; i <= max; i++) { int flag = 0; for (int j = 2; j < i; j++) { if (i % j == 0) { flag = 1; break; } } if (flag == 0) { System.out.print(" " + i + " "); } } } public static void main(String[] args) { PrimeNumber pn = new PrimeNumber(); pn.sum(100); } }
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特殊的东西都是特殊的用途,在于去发现,还有很多未知的地方
举一个例子,RSA加密算法就是利用质数.
http://baike.baidu.com/view/7520.htm?fr=ala0_1
你去取钱,刷公交卡等等,登陆账号啊,说不定就涉及这些素数的基本性质
自然界也有很多素数的典型例子....
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特殊的东西都是特殊的用途,在于去发现,还有很多未知的地方
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你去取钱,刷公交卡等等,登陆账号啊,说不定就涉及这些素数的基本性质
自然界也有很多素数的典型例子.
收起
据我所知 蛋用也没有