作业帮在半径为a的球形导体外,有一个正点电荷,与球心相距为r>a,问应给予这个球多少电荷才能使球面上的点电荷处处为正值,说明理由.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 21:17:18
在半径为a的球形导体外,有一个正点电荷,与球心相距为r>a,问应给予这个球多少电荷才能使球面上的点电荷处处为正值,说明理由.
在半径为a的球形导体外,有一个正点电荷,与球心相距为r>a,问应给予这个球多少电荷才能使球面上的点电荷处处为正值,说明理由.
在半径为a的球形导体外,有一个正点电荷,与球心相距为r>a,问应给予这个球多少电荷才能使球面上的点电荷处处为正值,说明理由.
用电像法,把球壳上的电荷分为：使球壳为0势的分布电荷+均匀分布在球壳上的电荷=Q（Q就是给予球壳的总电荷）,球壳为0势的分布电荷总量就是象电荷的电量,对球外的作用就是象电荷对球外的作用,这样另一部分电荷q=Q-q象,这一部分是均匀分布在球表面的,因为这样的分布是满足金属球等势的,而由静电场的唯一性定理,这个分布是唯一的对应球面总电量Q,球外有点电荷q0的分布.对于金属球壳来说,球壳内部电场处处为0,而要判断球面上的电荷的符号,除非你把电荷分布求出来,否则就只能用高斯定理,因为内部电场处处为0,所以在球壳上任意处取面积趋于0的柱状高斯面,算通量,内不电场通量为0,而外部电场通量算法,由上面知道球壳外部分布的电场就相当于三个点电荷产生的电场：外部点电荷q0,象电荷q象,球心处的点电荷q(与上面所说的均匀分布在球面上的电荷在外部产生的电场相同).由此就可以算出球壳任意位置的电通量,电荷处处为正,就是要求电通量处处为正.
这个电通量其实只需要计算那一点的场强,因为当底面积Δs很小时,E在这个范围内几乎不变,所以电通量ΔΦ=E·Δs,所以只需E方向向外就行.在这正做这道题时,不需要算每一点的场强,因为可以想象,如果外部是一个正点电荷,他对导体球壳上的正电荷有排斥的作用,负电荷有吸引的作用,所以负电荷集中地最多的点当然是,球壳上最接近正点电荷的那个点.
我把过程写出来你看一下：设外部正点电荷为q0
根据电像法：假设球壳内部有一个负电荷,使球壳0等势,电量为q',距离圆心为d,任取球壳上一点设这一点与球心的连线和球心与球外正点电荷之间的连线的夹角是θ,那么：
φ=(1/4πε0)*[q0/√(a^2+r^2-2arcosθ)+q'/√(a^2+d^2-2adcosθ)]=0,对任意θ成立.
解得：d=a^2/r
q'=-(a/r)*q0
设在球上加上电荷为Q时,球上处处为正：
∴球上总电荷产生的外场相当于,q',和在球心处电量为：Q-q'产生的电场.
先考虑球上最接近q0的点,要使此处电荷密度为正只需,此处做一个极小的柱状高斯面,通量为正,∵球壳内场强为0,∴只考虑向外的通量,
∴Φ=E·Δs
∴-π/2＜＜E,Δs＞＜π/2
由对称性：＜E,Δs＞=0,或＜E,Δs＞=π
∴＜E,Δs＞=0,也就是场强方向向外.
取向外为正：
E=(1/4πε0)*[(Q-q')/a^2+q'/(a-d)^2-q0/(r-a)^2]＞0
代入:d=a^2/r,q'=-(a/r)*q0
解得：Q=[a^2(3r-a)q0]/[r(r-a)^2]