第一类换元积分!∫1/2xdx=1/2∫1/2xd2x=1/2ln2x也就是1/2xd2x -> ln2x?我要问这样的错误出在哪里,凑微分后不是就是这样吗1/2xd2x -> ln2x?为什么正解却是1/2lnx!

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/13 03:53:20
第一类换元积分!∫1/2xdx=1/2∫1/2xd2x=1/2ln2x也就是1/2xd2x -> ln2x?我要问这样的错误出在哪里,凑微分后不是就是这样吗1/2xd2x -> ln2x?为什么正解却是1/2lnx!

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第一类换元积分!
∫1/2xdx=1/2∫1/2xd2x=1/2ln2x也就是1/2xd2x -> ln2x?我要问这样的错误出在哪里,凑微分后不是就是这样吗1/2xd2x -> ln2x?为什么正解却是1/2lnx!

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我们来看看下面的两种积分方法:
∫1/(2x)dx=1/2*∫1/xdx=1/2*ln(x)+C1
∫1/(2x)dx=1/2*∫1/(2x)d2x=1/2*ln(2x)+C2
注意到
1/2*ln(2x)+C2
=1/2*(ln(2)+ln(x))+C2
=1/2*ln(x)+(C2+1/2*ln(2))
=1/2*ln(x)+C3
这和1/2*ln(x)+C1一样,都是1/(2x)dx的不定积分
所以,这两种方法都是对的.
这里的关键就是补丁积分所得的原函数是不一定的,因为后面可以带常数.