求曲线y=1/x (x>0)的切线,使其在两坐标轴上的截距之和最小,并求此最小值.求详解.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/30 19:18:13
求曲线y=1/x (x>0)的切线,使其在两坐标轴上的截距之和最小,并求此最小值.求详解.

求曲线y=1/x (x>0)的切线,使其在两坐标轴上的截距之和最小,并求此最小值.求详解.
求曲线y=1/x (x>0)的切线,使其在两坐标轴上的截距之和最小,并求此最小值.求详解.

求曲线y=1/x (x>0)的切线,使其在两坐标轴上的截距之和最小,并求此最小值.求详解.
设x,y轴上的截距分别为a,b
因为y=1/x (x>0)的切线与坐标轴围成的直角三角形面积等于常数,a,b分别为该三角形的直角边长.
显然,直角三角形面积为常数时,等腰直角三角形直角边长之和最小
于是可得截距都为2,截距之和的最小值为4

y=1/x (x>0)求导得:y’=-1/x^2,
设切点为(a,1/a),则切线斜率为-1/a^2,
所以切线方程为y-1/a=-1/a^2(x-a),
令x=0得:y=2/a.
令y=0得:x=2a.
截距之和为2/a+2a≥2√(2/a•2a)=4,a=1时取到等号。
此时切线方程为y=-x+2.