作业帮常微分 一阶线性常系数齐次方程组请帮忙举出一个一阶线性常系数齐次方程组并解出来.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 15:51:27
常微分 一阶线性常系数齐次方程组请帮忙举出一个一阶线性常系数齐次方程组并解出来.
常微分 一阶线性常系数齐次方程组
请帮忙举出一个一阶线性常系数齐次方程组并解出来.
常微分 一阶线性常系数齐次方程组请帮忙举出一个一阶线性常系数齐次方程组并解出来.
就是先把方程组的系数写成矩阵的形式再解特征根~
比如说方程组dx/dt=3x-5y
dy/dt=5x+3y
那么该矩阵A就是[3 -5] (不会打大的括号,凑合看吧)
[5 3]
下面算det(A-λE)=|3-λ -5|=λ^2-6λ-34
| 5 3-λ|
解得特征根为λ1=3+5i λ2=3-5i
所以方程组有形如 h·exp{(3+5i)t} , k·exp{(3-5i)t}的基本解组
p.s. exp{X}就是e的X次幂的意思
其中h k满足(A-λ1E)=0 (A-λ2E)=0
由于A-λ1E=[-5i -5] A-λ2E=[5i -5]
[ 5 -5i] [5 5i]
故可取h=[i] k=[-i]
[1] [1 ]
因为exp{(3+5i)t}=exp{3t}(cos5t+isin5t)
p.s. 共轭的复数分解后只是差个负号,不影响通解结构所以分解一个就行啦~
h·exp{(3+5i)t}=[-sin5t]exp{3t}+i[cos5t]exp{3t}
[cos5t ] [sin5t]
所以原方程的实通解
[x]=C1[-sin5t]exp{3t}+C2[cos5t]exp{3t}
[y] [cos5t ] [sin5t]
嗯……不知道能不能明白呀……