作业帮过原点的直线交双曲线x2-y2=4√2于P、Q两点,现将坐标平面沿直线y=-x互折成直二面角：则折后线段PQ的长度的最小值为____.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 14:02:56
过原点的直线交双曲线x2-y2=4√2于P、Q两点,现将坐标平面沿直线y=-x互折成直二面角：则折后线段PQ的长度的最小值为____.
过原点的直线交双曲线x2-y2=4√2于P、Q两点,现将坐标平面沿直线y=-x互折成直二面角：则折后线段PQ的长度的最小值为____.
过原点的直线交双曲线x2-y2=4√2于P、Q两点,现将坐标平面沿直线y=-x互折成直二面角：则折后线段PQ的长度的最小值为____.
记直线PQ的方程为y=kx(-1
为了书写方便，记r²=4√2，
依题意知，P、Q均在双曲线上，且关于原点对称，所以可设P(rsecθ，rtanθ)，Q(-rsecθ，-rtanθ)
过P作直线y=-x的垂线，垂足为H，连接QH，
因为PH⊥直线y=-x，所以直线PH的斜率为1，由点斜式可写出PH的直线方程为x-y=r(secθ-tanθ)
直线PH与直线y=-x联立解得垂足为H((r/2...
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为了书写方便，记r²=4√2，
依题意知，P、Q均在双曲线上，且关于原点对称，所以可设P(rsecθ，rtanθ)，Q(-rsecθ，-rtanθ)
过P作直线y=-x的垂线，垂足为H，连接QH，
因为PH⊥直线y=-x，所以直线PH的斜率为1，由点斜式可写出PH的直线方程为x-y=r(secθ-tanθ)
直线PH与直线y=-x联立解得垂足为H((r/2)(secθ-tanθ)，-(r/2)(secθ-tanθ))
由两点间的距离公式可求出PH²=(r²/2)(secθ+tanθ)²，QH²=(r²/2)(5sec²θ-6secθtanθ+5tan²θ)
翻折后，在Rt△PQH中，由勾股定理可求出
PQ²=PH²+QH²=[(r²/2)(secθ+tanθ)²]+[(r²/2)(5sec²θ-6secθtanθ+5tan²θ)]=(3sec²θ-2secθtanθ+3tan²θ)r²
变形得
PQ²=(3sin²θ-2sinθ+3)r²/cos²θ
PQ²=(3sin²θ-2sinθ+3)r²/(1-sin²θ)
(PQ²/r²)+3=(2sinθ-6)/(sin²θ-1)
r²/(PQ²+3r²)=(sin²θ-1)/(2sinθ-6)
6-[2r²/(PQ²+3r²)]=(3-sinθ)+8/(3-sinθ)
要求PQ的最小值，就是求等号右边式子的最小值。
因为3-sinθ>0，所以对等号右边运用均值不等式有(3-sinθ)+8/(3-sinθ)≥2√[(3-sinθ)*8/(3-sinθ)]=4√2
所以6-[2r²/(PQ²+3r²)]≥4√2
将r²=4√2代入后解得PQ²≥16
即PQ≥4
所以翻折后线段PQ的长度的最小值为4。
收起
2√2