作业帮如何证明矩阵特征值的几何重数等于相应Jordan块的个数,谢谢!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 19:18:05
如何证明矩阵特征值的几何重数等于相应Jordan块的个数,谢谢!
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这个比较简单,证明过程如下：
1. A相似于某个Jordan标准型J,且J = diag{J1, J2, ..., Jp},Ji表示第i个特征值λi对应的Jordan块；
2. 不难发现,J对应于任何λi的几何重数等于A对应于λi的几何重数；
3. J - λi*I = diag{J1 - λi * I1, J2 - λi * I2, ..., Jp - λi * Ip},假设特征值为λi的Jordan块个数（不是Jordan块阶数）为ni个,那么rank(diag{J1 - λi * I1, J2 - λi * I2, ..., Jp - λi * Ip}) = n - ni（因为每个特征值为λi的Jordan块减去λi * I后分别减少1阶,而其他特征值不为λi的Jordan块在减去λi * I后仍然是满秩的）,因此rank(J - λi*I) = n - ni,于是J对应于λi的几何重数为ni；
4. 结合2、3不难推出,A对应于λi的几何重数等于相应Jordan块的个数,证毕!
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