作业帮设正数数列{an}前项和为Sn,且存在正数t,使得对所有正整数n有更号下tS=(t+an)/2.则通过归纳猜想可得到Sn=?写出基本步揍!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/13 10:13:21
设正数数列{an}前项和为Sn,且存在正数t,使得对所有正整数n有更号下tS=(t+an)/2.则通过归纳猜想可得到Sn=?写出基本步揍!
设正数数列{an}前项和为Sn,且存在正数t,使得对所有正整数n有更号下tS=(t+an)/2.则通过归纳猜想可得到Sn=?
写出基本步揍!
设正数数列{an}前项和为Sn,且存在正数t,使得对所有正整数n有更号下tS=(t+an)/2.则通过归纳猜想可得到Sn=?写出基本步揍!
如果t == 0.5,
Sn == 0.5+an,
那么就有
a1 == 0.5+a1
显然是不合理的!所以
t != 0.5,
2t*a1 == t+a1 --> a1 == t/(2t-1),
2t(a1+a2) == t+a2 --> 2t*a2 == a2-a1,
2t(a1+a2+a3) == t+a3 --> 2t*a3 == a3-a2,
......
2t(a1+a2+...+an) == t+an --> 2t*an == an-a(n-1),
很明显an 是一个等比数列：
an == a(n-1)/(1-2t)
而且 a1 == t/(2t-1),
根据等比数列求和公式可以得到结果~!
Sn == a1(1-q^n)/(1-q)
== t/(2t-1)[1-1/(1-2t)^n] /[1-1/(1-2t)]
== 1/2-1/[2(1-2t)^n].
令n=1,更号下tS1=(t+a1)/2,又S1=a1,解得a1=t
令n=2,更号下t(a1+a2)=(t+a2)/2
a1=t代入,更号下t(t+a2)=(t+a2)/2
平方,约去t+a2,得:t=(t+a2)/4
a2=3t
n=3时,更号下t(a1+a2+a3)=(t+a3)/2,
...
全部展开
令n=1,更号下tS1=(t+a1)/2,又S1=a1,解得a1=t
令n=2,更号下t(a1+a2)=(t+a2)/2
a1=t代入,更号下t(t+a2)=(t+a2)/2
平方,约去t+a2,得:t=(t+a2)/4
a2=3t
n=3时,更号下t(a1+a2+a3)=(t+a3)/2,
更号下t(4t+a3)=(t+a3)/2,
a3=5t
故S1=t,S2=4t,S3=9t
所以Sn=n平方t
再用归纳法严格证明即可
收起
由(tSn)^1/2 = (t+an)/2那有4tSn = t^2+2ant+an^2即t^2+2*(an-2Sn)t+an^2 =0t是正数，则有[2*(an-2Sn)]^2 - 4*an^2 =0，an-2Sn<0即Sn*(Sn-an)=0,an<2Sn,an>0 故Sn＝an,Sn+1=an+1Sn+1-Sn = an+1 = an+1-an即an=0和已知矛盾故不存在Sn