作业帮大一定积分问题设y=f(x)在x≥0时为连续的非负函数,且f(0)=0,V(t)表示y=f(x),x=t（＞0）及x轴所围成图形绕直线 x=t旋转一周所成旋转体体积,证明V''(t)=2πf(t)设平面图形D由x^2+y^2≤2x与y≥x所确定,求D
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 03:04:31
大一定积分问题设y=f(x)在x≥0时为连续的非负函数,且f(0)=0,V(t)表示y=f(x),x=t（＞0）及x轴所围成图形绕直线 x=t旋转一周所成旋转体体积,证明V''(t)=2πf(t)设平面图形D由x^2+y^2≤2x与y≥x所确定,求D
大一定积分问题
设y=f(x)在x≥0时为连续的非负函数,且f(0)=0,V(t)表示y=f(x),x=t（＞0）及x轴所围成图形绕直线 x=t旋转一周所成旋转体体积,证明V''(t)=2πf(t)
设平面图形D由x^2+y^2≤2x与y≥x所确定,求D绕直线x=2旋转而成的立体体积V
大一定积分问题设y=f(x)在x≥0时为连续的非负函数,且f(0)=0,V(t)表示y=f(x),x=t（＞0）及x轴所围成图形绕直线 x=t旋转一周所成旋转体体积,证明V''(t)=2πf(t)设平面图形D由x^2+y^2≤2x与y≥x所确定,求D
1.设y=f(x)在x≥0时为连续的非负函数,且f(0)=0,V(t)表示y=f(x),x=t（＞0）及x轴所围成图形绕直线 x=t旋转一周所成旋转体体积,证明V''(t)=2πf(t).
证明：在此旋转体上取一半径为(t-x),厚度为dy的薄园片,此薄圆片的微体积dv=π(t-x)²dy；
故其体积V(t)=【0,f(t)】∫π(t-x)²dy；其中dy=f '(x)dx；y=0时x=0；y=f(t)时x=t；故得：
V(t)=【0,f(t)】∫π(t-x)²dy=【0,t】π∫(t-x)²f '(x)dx
V'(t)=dV/dt=【0,t】π∫2(t-x)f '(x)dx
∴V ''(t)=d²V/dt²=【0,t】π∫2f '(x)dx=【0,t】2π∫df(x)=2π[f(t)-f(0)]=2πf(t).
2.设平面图形D由x²+y²≤2x与y≥x所确定,求D绕直线x=2旋转而成的立体体积V.
由x²+y²=2x,得y²=-x²+2x=-(x²-2x)=-[(x-1)²-1]=-(x-1)²+1；(x-1)²=1-y²；x=1±√(1-y²)；
此处应取x=1-√(1-y²)；【根号前为什么要取负号?比如,当y=1/2时,x=1-(√3/2)=0.134