作业帮用待定系数法求微分方程的通解y''-4y'+4y=(1+x+x^2+...+x^23)e^2x（不要用微分算子哦）,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 05:25:51
用待定系数法求微分方程的通解y''-4y'+4y=(1+x+x^2+...+x^23)e^2x（不要用微分算子哦）,
用待定系数法求微分方程的通解y''-4y'+4y=(1+x+x^2+...+x^23)e^2x（不要用微分算子哦）,
用待定系数法求微分方程的通解y''-4y'+4y=(1+x+x^2+...+x^23)e^2x（不要用微分算子哦）,
设方程特解为：y*=p(x)e^λx ,则:
y''-4y'+4y=[p''+(2λ-4)p'+(λ^2 -4λ+4)p]e^λx =(1+x+x^2+...+x^23)e^2x
特征方程有二重根 λ=2；2λ-4=0 ; λ^2 -4λ+4=0
p''=1+x+x^2+...+x^23 且：p(x)=x^2*Q(23)(x) 【Q(23)(x)为23次多项式】
p(x)=x^3/2*3 + x^4/3*4 +...+x^25/24*25
微分方程的通解:
y=e^2x(c1+c2*x + x^3/2*3+x^4/3*4+...+x^25/24*25)
∵齐次方程y''-4y'+4y=0的特征方程是r²-4r+4=0 ==>r=2
∴此特征方程的通解是y=(C1x+C2)e^(2x) (C1,C2是积分常数)
设原微分方程的特解为y=(A25x^25+A24x^24+....+A2x^2)e^(2x)
(A25,A24,....,A2表示...
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∵齐次方程y''-4y'+4y=0的特征方程是r²-4r+4=0 ==>r=2
∴此特征方程的通解是y=(C1x+C2)e^(2x) (C1,C2是积分常数)
设原微分方程的特解为y=(A25x^25+A24x^24+....+A2x^2)e^(2x)
(A25,A24,....,A2表示多项式相应项待定的系数)
∵y'=(25A25x^24+24A24x^24+...+2A2x)e^(2x)+2y
y''=(25*24A25x^23+24*23A24x^23+...+2*1A2)e^(2x)+4(25A25x^24+24A24x^24+...+2A2x)e^(2x)+4y
把y'',y',y代入原微分方程
得(25*24A25x^23+24*23A24x^23+...+2*1A2)e^(2x)=(1+x+x^2+...+x^23)e^(2x)
比较两端同次幂系数
得A25=1/(25*24)
A24=1/(24*23)
........
A2=1/(2*1)
∴原微分方程的特解是y=[x^25/(25*24)+x^24/(24*23)+....+x^2/(2*1))e^(2x)
故原微分方程的通解是y=(C1x+C2)e^(2x)+[x^25/(25*24)+x^24/(24*23)+....+x^2/(2*1))e^(2x)
（C1,C2是积分常数）
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