如图,△ABC是边长为2的等边三角形,△BDC是等腰三角形,且∠BDC=120°,以点D为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB/AC于点M,N,连结MN,求△AMN的周长、

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/05 06:16:37

如图,△ABC是边长为2的等边三角形,△BDC是等腰三角形,且∠BDC=120°,以点D为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB/AC于点M,N,连结MN,求△AMN的周长、
如图,△ABC是边长为2的等边三角形,△BDC是等腰三角形,且∠BDC=120°,以点D为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB/AC于点M,N,连结MN,求△AMN的周长、

如图,△ABC是边长为2的等边三角形,△BDC是等腰三角形,且∠BDC=120°,以点D为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB/AC于点M,N,连结MN,求△AMN的周长、
因为△BDC是等腰三角形,且∠BDC＝120°,
所以∠BCD＝∠DBC＝30°
因为∠MDN＝60°
所以∠BDM＋∠CDN＝60°
因为△ABC是等边三角形,
所以∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60°
所以∠DBA＝∠DCA＝90°
将△BDM绕点D顺时针旋转120°,使DB与DC重合,得△DCE
则有BM＝CE,∠CDE＝∠BDM,∠DCE＝∠DBA
因为∠DCE＝∠DBM＝∠DCA＝90°
所以N、C、E在同一直线上
因为∠NDE＝CDE＋∠CDN＝∠BDM＋∠CDN＝60°
所以在△DMN和△DNE中
有：DM＝DE,∠MDN＝∠NDE＝60°,DN＝DN
所以△DMN≌△DEN（SAS）
所以MN＝NE＝NC＋CE＝NC＋BM
即BM＋CN＝MN
所以△AMN的周长＝AM＋AN＋MN
＝AM＋AN＋BM＋CN
＝(AM＋BM)＋(AN＋CN)
＝AB＋AC＝2AB＝2*2＝4