函数的值域 y=2X/3X2+1

函数的值域 y=2X/3X2+1
函数的值域 y=2X/3X2+1

函数的值域 y=2X/3X2+1
y=2x/(3x²+1)
=2/(3x+1/x)
当x>0时3x+1/x>=2√3x*(1/x)=2√3
此时0

y = 2x /(3x²+1)
1°当x = 0时，y = 0;
2°当x≠0时，y = 2/(3x + 1/x)【分子分母同时除以x】
若x＞0,那么3x + 1/x ≥2√3,【根据对勾函数性质或者用均值不等式】
0＜2/(3x + 1/x)≤√3/3
若x＜0,那么3x + 1/x ≤-2√3，【理由同上】
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y = 2x /(3x²+1)
1°当x = 0时，y = 0;
2°当x≠0时，y = 2/(3x + 1/x)【分子分母同时除以x】
若x＞0,那么3x + 1/x ≥2√3,【根据对勾函数性质或者用均值不等式】
0＜2/(3x + 1/x)≤√3/3
若x＜0,那么3x + 1/x ≤-2√3，【理由同上】
-√3/3≤2/(3x + 1/x)＜0
综合1°2°，因此原函数值域为[-√3/3,√3/3].

收起

y=2x/(3x²+1)
求导数：y'=(2-6x²)/(3x²+1)²
求驻点：y'=0时，函数有极值，
此时有 2-6x²=0, 求得x=±(√3)/3
分别把x=(√3)/3和x=-(√3)/3代入原式y=2x/(3x²+1)
可得 y=(√3)/3或y=-(√3)/3
所以函数的值域为 [-(√3)/3, (√3)/3]