已知函数f(x)的定义域为R,且对任意x属于Z,都有f(x)=f(x-1)+f(x+1).若f(-1)=2,f(1)=3,则f(2012)+f(-2012)=要详解,谢谢~~~

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/02 20:28:47

已知函数f(x)的定义域为R,且对任意x属于Z,都有f(x)=f(x-1)+f(x+1).若f(-1)=2,f(1)=3,则f(2012)+f(-2012)=要详解,谢谢~~~
已知函数f(x)的定义域为R,且对任意x属于Z,都有f(x)=f(x-1)+f(x+1).若f(-1)=2,f(1)=3,则f(2012)+f(-2012)=
要详解,谢谢~~~

已知函数f(x)的定义域为R,且对任意x属于Z,都有f(x)=f(x-1)+f(x+1).若f(-1)=2,f(1)=3,则f(2012)+f(-2012)=要详解,谢谢~~~
用迭代法,求证f(x)是以6 为周期的周期函数.
在 f(x)=f(x-1)+f(x+1) (1)
中用x+1 替换x,得
f(x+1)=f(x)+f(x+2) (2)
(1)+(2)得
f(x+2)=-f(x-1) (3)
在（3)中用x+1替换x,得
f(x+3)=-f(x) (4)
在（4）中用 x+3替换 x,得
f(x+6)=-f(x+3) (5)
对比 (4),(5),得
f(x+6)=f(x)
在(1)中,令 x=0,得 f(0)=f(-1)+f(1)=5
令 x=1,得 f(1)=f(0)+f(2),f(2)=-2
令 x=-1,得 f(-1)=f(-2)+f(0),f(-2)=-3
由于 2012=335×6+2
所以 f(2012)+f(-2012)=f(2)+(f(-2)=-5

f(x)=f(x-1)+f(x+1)，代入x-1得f(x-1)=f(x-2)+f(x)，则f(x+1)=-f(x-2)，即f(x)=-f(x+3)=f(x+6)=f(x+6k)
则f(2012)+f(-2012)=f(-1+6*335+3)+f(1-6*335-3)=-f(-1)-f(1)=-5

f(0)=f(-1)+f(1)=5
f(1)=3
f(2)=f(1)-f(0)=-2
f(3)=f(2)-f(1)=-5
f(4)=f(3)-f(2)=-3
f(5)=f(4)-f(3)=2
f(6)=f(5)-f(4)=5
f(7)=f(6)-f(5)=3
所以当x为正数时，f(x)的周期为6，所以f(2012)=f(2)=-2

全部展开

f(0)=f(-1)+f(1)=5
f(1)=3
f(2)=f(1)-f(0)=-2
f(3)=f(2)-f(1)=-5
f(4)=f(3)-f(2)=-3
f(5)=f(4)-f(3)=2
f(6)=f(5)-f(4)=5
f(7)=f(6)-f(5)=3
所以当x为正数时，f(x)的周期为6，所以f(2012)=f(2)=-2
同理，当x为负数时，f(x)的周期也为6，所以f(-2012)=f(-2)=f(-1)-f(0)=-3
所以结果为-5

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