作业帮已知在R上的奇函数y=f(x)满足y=f(x+π/2)为偶函数 证明f(x)为周期函数 严格定义证明 菜鸟勿扰)帮朋友问的 年代久远了 表示鸭梨很大
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 15:04:59
已知在R上的奇函数y=f(x)满足y=f(x+π/2)为偶函数 证明f(x)为周期函数 严格定义证明 菜鸟勿扰)帮朋友问的 年代久远了 表示鸭梨很大
已知在R上的奇函数y=f(x)满足y=f(x+π/2)为偶函数 证明f(x)为周期函数 严格定义证明 菜鸟勿扰)
帮朋友问的 年代久远了 表示鸭梨很大
已知在R上的奇函数y=f(x)满足y=f(x+π/2)为偶函数 证明f(x)为周期函数 严格定义证明 菜鸟勿扰)帮朋友问的 年代久远了 表示鸭梨很大
证明：∵y=f(x+π/2)为偶函数
∴f(-x+π/2)=f(x+π/2)=f(π-(-x+π/2)
令t=-x+π/2 t∈R
f(t)=f(π-t)
即f(x)=f(π-x)
∴f(π+x)=f(-x)=-f(x)=-f(π-x)=f(x-π)
∴f(π+x)=f(2π+(x-π))=f(x-π)
令t=x- π t∈R
f(2π+t)=f(t)
即f(2π+x)=f(x)
证明f(x)是以2π为周期的周期函数.
y=f(x+π/2)为偶函数, u= x+π/2
=> f(x+π) = f(u + π/2) = f( -u + π/2)
= f(-x-π/2 + π/2) = f(-x) = -f(x) f(x)是奇函数
于是 f(x+2π) = - f (x+π) = f(x)
=> f(x)为周期2π 的周期函数
这么简单的问题！
因为y=f(x+π/2)为偶函数，所以f(x+π/2)＝f(-x+π/2)
又因为y=f(x)是在R上的奇函数，所以y=f(-x+π/2)=-f(x-π/2)，所以f(x+π/2)＝-f(x-π/2)
令x-π/2＝t，则f(t)=-f(t+π)=-[-f(t+2π)]=f(t+2π)
所以f(t)的周期为2nπ，n为非零整数。
依题意，f（x+pi/2）=f（-x+pi/2）=-f（x-pi/2），所以f（x）=-f（x+pi）=f（x+2pi）
即周期为2π