作业帮已知数列｛an｝满足a1=1/2,前n项和Sn=n^2an已知数列｛an｝满足a1=1/2,前n项和Sn=n^2an1)求a2,a3,a42)猜想数列｛an｝的通项公式,用数学归纳法证明
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 02:56:05
已知数列｛an｝满足a1=1/2,前n项和Sn=n^2an已知数列｛an｝满足a1=1/2,前n项和Sn=n^2an1)求a2,a3,a42)猜想数列｛an｝的通项公式,用数学归纳法证明
已知数列｛an｝满足a1=1/2,前n项和Sn=n^2an
已知数列｛an｝满足a1=1/2,前n项和Sn=n^2an
1)求a2,a3,a4
2)猜想数列｛an｝的通项公式,用数学归纳法证明
已知数列｛an｝满足a1=1/2,前n项和Sn=n^2an已知数列｛an｝满足a1=1/2,前n项和Sn=n^2an1)求a2,a3,a42)猜想数列｛an｝的通项公式,用数学归纳法证明
已知:数列{an}满足a1=1/2,前n项和Sn=n²an；
(1)求a2、a3、a4；
(2)猜想数列{an}的通项公式,用数学归纳法证明.
(1)易得a2=1/6、a3=1/12、a4=1/20；
(2)猜想an=1/[n(n+1)]
数学归纳法证明:
①当n=1时,a1=1/2成立；
②假设n=k(k≥2)时,ak=1/[k(k+1)]成立,
则a(k+1)=1/[(k+1)(k+2)]=1/[(k+1)((k+1)+1)]成立,
③得证：an=1/[n(n+1)]
附：Sn=n²an
S(n-1)=(n-1)²a(n-1)
Sn-S(n-1)=n²an-(n-1)²a(n-1)
an=n²an-(n-1)²a(n-1)
(n²-1)an=(n-1)²a(n-1)
(n+1)an=(n-1)a(n-1)
an=[(n-1)/(n+1)]×a(n-1)
=[(n-1)/(n+1)]×[(n-2)/n]×a(n-1)
=[(n-1)/(n+1)]×[(n-2)/n]×[(n-3)/(n-1)]×a(n-1)
=[(n-1)/(n+1)]×[(n-2)/n]×[(n-3)/(n-1)]×···×(3/5)×(2/4)×(1/3)×a1
=[2×1/((n+1)n)]×a1
=[2/((n+1)n)]×(1/2)
=1/[n(n+1)]
a1=1/2
a2=1/6
a3=1/12
a4=1/20
.
.
.
an=1/((n+1)*n)
至于证明你就自己弄好了，不难。
(1)a2=S2-S1=4a2-1a1.则a2=1/6.
a3=S3-S2=9a3-4a2.则a3=1/12.
a4=S4-S3=16a4-9a3,则a4=1/20
(2)猜想:an=1/(n*(n*1)).
当n=1时,a1=1/(1*2)=1/2成立.
当n=k,k≥2时,ak=Sk-S(k-1)=k^2*ak-(k-1)^2*a(k-1)
ak...
全部展开
(1)a2=S2-S1=4a2-1a1.则a2=1/6.
a3=S3-S2=9a3-4a2.则a3=1/12.
a4=S4-S3=16a4-9a3,则a4=1/20
(2)猜想:an=1/(n*(n*1)).
当n=1时,a1=1/(1*2)=1/2成立.
当n=k,k≥2时,ak=Sk-S(k-1)=k^2*ak-(k-1)^2*a(k-1)
ak/a(k-1)=(k-1)/(k+1).
同时ak/a(k-1)=1/(k*(k+1)÷1/((k-1)*k)=(k-1)/(k+1),成立.
因此得证.
an=1/(n*(n*1)).
收起
a2=1/6
a3=1/12
a4=1/20
an=1/[n(n+1)]
边上语文课边做的…应该没错，证明的话就按书本的步骤一步步来就行了:-)