已知F1,F2是椭圆X2/a2+y2/b2=1的两个焦点,P是椭圆上的一点,角F1PF2=60°,1、求椭圆离心率的取值范围,2、求证三角形F1PF2的面积与短轴长度有关

已知F1,F2是椭圆X2/a2+y2/b2=1的两个焦点,P是椭圆上的一点,角F1PF2=60°,1、求椭圆离心率的取值范围,2、求证三角形F1PF2的面积与短轴长度有关
已知F1,F2是椭圆X2/a2+y2/b2=1的两个焦点,P是椭圆上的一点,角F1PF2=60°,1、求椭圆离心率的取值范围,
2、求证三角形F1PF2的面积与短轴长度有关

已知F1,F2是椭圆X2/a2+y2/b2=1的两个焦点,P是椭圆上的一点,角F1PF2=60°,1、求椭圆离心率的取值范围,2、求证三角形F1PF2的面积与短轴长度有关
分析：不妨设椭圆方程=1(a＞b＞0),运用椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a,在△F1PF2中运用余弦定理即可.
(1)解:设椭圆方程=1(a＞b＞0),
由余弦定理得
cos60°=
=.
|PF1|·|PF2|=4a2-2|PF1|·|PF2|-4c2,∴3|PF1|·|PF2|=4b2,
∴|PF1|·|PF2|=.
又∵|PF1|·|PF2|≤()2=a2,
∴3a2≥4(a2-c2),∴≥,∴e≥.
又∵椭圆中0＜e＜1.∴所求椭圆的离心率的取值范围是≤e＜1.
(2)证明：由（1）可知|PF1|·|PF2|=,
S=|PF1|·|PF2|sin60°=××=b2.
∴△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.
点拨：在用余弦定理时,始终保持|PF1|2+|PF2|2的形式不变,不能联系定义,则难以进行.
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